第11章热力学基础(2)

例11-3 一绝热容器的总容积为40L，中间用一绝热板隔开，隔板重量忽略不计，可以

5

无摩擦地自由升降。A、B两部分各装有1mol的氮气，它们最初的压强都为1.013×10Pa,隔板停在中间，现在使微小电流通过B中的电阻而缓慢加热，直到A部气体体积缩小到一半为止，求该过程中

（1）B部分中气体的过程方程（用气体的温度和体积之间的关系表示）。

（2）A、B两部分中的气体各自的最终温度。 （3）B部分中气体吸收的热量。 解：（1）A部分中的气体经历的是绝热过程，故有

PAVAr?PA1VAr1?C ?1.013?105?(20?10?3)1.4 ?4.2?102在活塞上升过程中，有PA＝PB，VA＝V－VB＝40×10－VB，把这两个关系代入上式，得到

－3例11-3图

PB(0.04?VB)r?4.2?102

此式即为B部分中气体的过程方程，再把PB?RTB/VB代入上式，得过程方程用V、T关系表示的形式

TB(0.04?VB)r?51VB （2）TA2?TA1( ?TB2?VA1r?1PA1VA1VA1r?1)?()VA2RVA251.013?10?0.020.020.4?()?322K8.310.01

51VB251?0.03??965K

(0.04?VB)1.4(0.04?0.03)1.4VB2(3)QB?AB??EB??iPBdVB?R(TB2?TB1)VB12VB2PB1VB14.2?102i ??dV?R(T?)BB2VB1(0.04?V)r2RBPV4.2?102i ??[(0.04?VB1)1?r?(0.04?VB2)1?r]?R(TB2?B1B1)

1?r2R4.2?10251.013?105?0.02?0.4?0.4 ?[0.02?0.01]??8.31?(965?)1?1.428.31 ?1.66?104J

例11－4 1mol某双原子分子理想气体作例10－4图所示 p/atm B 的循环。（1）求A,B,C三态的温度；（2）一个循环过程中， 3

系统对外做的功；（3）A－B过程中的平均摩尔热容量CAB；

1 A C （4）循环效率。

解 （1）由PV??RT得 8.2 16.4 V/L

TA?pAVA1.013?10?8.2?10??100K ?R8.315?3例11-4图

同理有 TC?2TA?200K， TB?6TA?600K

（2）一个循环的功为?ABC的面积，即 A?11(pB?pA)(VB?VA)??2pA?VA?RTA?8.31?100?831J 22525R?5TA?RTA 22（3）A?B过程中气体内能变化 ?E?EB?EA?CV(TB?TA)?A?B 过程中气体所做的功

11 AAB?(pA?pB)(VB?VA)??4pA?VA?2RTA

22

A?B 过程中气体吸收的热量 由 Q??E?A

QAB??E?AAB?29RTA2

A?B过程中的平均摩尔热容量

因为 QAB?CAB(TB?TA)

所以 CAB29RTAQAB2929??2?R??8.31?24.1J?K?1mol?1 TB?TA5TA101029RTA 2（4）B?C为放热，C?A为放热，A?B为吸热，故 Q吸＝QAB?所以 ??RTAA2＝??6.89% Q吸2929RTA2

例11－5 用一块隔板把两个容器隔开，两个容器内分别盛有不同种类的理想气体，温度为室温T，压强为p，一个容器的体积为V1，另一个容器的体积为V2。求当把隔板移去，两种气体均匀混合后的总熵变。设两种气体混合不发生化学变化。

解 气体混合前后的温度均不变，都等于室温T。对V1内的气体用等温可逆过程代替，其熵变为

dS1? ?S1??1RdE?pdVpdVdV???1R

TTV?V2?V1V1V?V2pV1V1?V2dV ??1Rln1?lnVV1TV1对V2内的气体也用等温可逆过程代替，用同样的方法求得 ?S2??2Rln故总熵变

?S??S1??S2?

例11－6 夏天室外温度为37℃时，用空调器使室内温度维持在25℃，已知漏入室内

4-1

的热量的速率为3.8×10KJ·h,求所用空调器需要的最小机械功率是多少？

V1?V2pV2V1?V2 ?lnV2TV2pV1V1?V2pV2V1?V2 ln?lnTV1TV2解：A? ?Q2??Q2?c4?Q2(T1?T2)T23.8?10?(310?298)?1.53?103KJ?h?1298

所需最小功率为

Pmin

Amin1.53?103?103???425W?0.425KW

t360055例11－7 求质量为32g的氧气由压强为2.02?10Pa等温下降到1.01?10Pa时的熵变。

解 因过程为等温过程，所以其熵变：

?S???21V2dVVPdQMMM?R??Rln2?Rln1TMmolV1VMmolV1MmolP2?332?10?8.31?ln2?5.76(JK?1)?332?10

例11-8 证明两条绝热线不能相交。 证：方法一 用反证法

假定两条绝热线相交于某点c，我们在两条绝热线之间作一等温线，与两条绝热线分别交于a和b，形成一个循环，若该循环为正循环abca，则在等温膨胀过程ab中工作物质从外界（温度为T的热源）吸热对外作功，而在两个绝热过程bc和ca中工作特质与外界无热量交换，因此在循环过程中，工作物质只从单一热源吸热对外作功，而不放热给其他物体，这就违背了热力学第二定律的开尔文表述，故假设的循环不能实现，即两条绝热线不能相交。

方法二 对于绝热过程bc、ca，其熵变均为零，即?Sbc??Sca?0，对于等温过程ab，其熵变?Sab??badQ?0,故循环过程的总熵变?S??Sab??Sbc??Sca?0，这个结果与T熵是态函数的概念相违背，因而该循环不能实现，即两条绝热线不能相交。

例11-9 用一卡诺热机驱动一卡诺热泵向房间供暖，使房间的温度维持在20℃，设热机从温度为100℃的高温热源吸热，向待供暖的房间放热，热泵与温度为3℃的低温热源（室外）接触，当供给热机单位热量时，供给房间的热量是多少单位？（假设热泵的供暖系数不变）

解：T1＝100+273＝373K, T2＝20+273＝293K，T3＝3+273＝276K

热机效率??1?T2293?1??0.214 T1373热机对热泵作功为

A??Q1?0.214Q1

式中Q1是热机从高温热源吸收的热量，热机向房间提供的热量是

Q2?T2293Q1?Q1?0.786Q1 T1373对于热泵，高温热源（即房间）的温度为T2＝293K，低温热源（即室外）的温度为T3＝276K，供暖系数是???T2293??17.24，热泵向房间放热为

T2?T3293?276Q3???A?17.24?0.214Q1?3.69Q1

房间获得的总热量为

Q?Q2?Q3?0.786Q1?3.69Q1?4.48Q1

三、教材习题解答

11-1 如图所示，一理想气体分别经过等压ab、等温ac及绝热ad三个过程并使其体积增加一倍，则： （1） 过程做功最大， 过程做功最小；

（2） 过程引起的温度变化最大， 过程引起的温度变化最小； （3） 过程气体吸收的热量最多， 过程吸收的热量最少。

解：（1）由功的图示法可知，ab过程做功最大，ad过程做功最小。

（2）由气体状态方程可知，Tb＞Te＞Td。故ab过程引起的温度变化最大，ac过程引起的温度变化最小。

（3）由Q?A??E及（1）、（2）的结论可知，ab过程气体吸收的热量最多，ad过程中气体不吸热。

p

p a b

c

d a? a b? b d 0 d? c? c V V0 2V0 V 0 题11-1图 题11-2图 11-2 如图两卡诺循环在

p?V图上的过程曲线abcda及a?b?c?d?a?所围面积相等，则：它们的循

环效率 ，从高温热源吸收的热量 ，对外做的净功 。

解（1）由??1?T2可知，????。 T1（2）由??A可知，二者从高温热源吸收的热量不等。 Q1（3）净功相等，因为两循环曲线所围面积相等。

11-3 如图所示，1mol氦气由态a(p1,V1)沿图中直线变化到b(p2,V2)，求： （1）气体内能的变化； （2）对外做的功； （3）吸收的热量。 解（1）由PV??RT得：Tb?Ta?1(PV22?PV11) R由于内能是状态函数，故

?E?Eb?Ea???3(PV22?PV11) 2i31R(Tb?Ta)?R?(PV22?PV11) 22R

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