概率论与数理统计题库(7)

6、若?X,Y表示二维随机变量?X,Y?的相关系数，则“?X,Y?1”是“存在常数a、b使得P?Y?a?bX??1”的 （ C ）

?A? 必要条件，但非充分条件； ?B? 充分条件，但非必要条件；

?C? 充分必要条件； ?D? 既非充分条件，也非必要条件．

x)，其中?(x)为标准正态分布的12、设随机变量X的分布函数为F(x)?0.3?(x)?0.7?(2分布函数，则X的期望E(X)=（ D ）

(A) 1； (B) 0.7； (C) 0.3； (D) 0.

?0,x?0,?3、随机变量X的分布函数是F(x)??x2,0?x?1，则X的数学期望为 2/3 ；

?1,x?1.?2、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Ax,f(x,y)???00?x?10?y?x其它

（1）求A；（2）求E(X?Y)。 解：（1）因为?(2)E(X?Y)?????????f(x,y)dxdy??dx?Axdy??Ax2dx?0001x1x1A?1,所以A?3。（4分）31333dx(x?y)3xdy?xdx?。（4分） (x?y)f(x,y)dxdy??0?0?02?????8??1、二维随机变量(X,Y)的具有联合概率密度函数

?1,y?x,0?x?1 f(x,y)??

?0,其它.求E(X),E(Y),Cov(X,Y).

解：E(X)??dx?xdy?2?x2dx?0?x01x12 ?????（2分） 3E(Y)??dx?ydy?0 ?????（4分）

0?x1xE(XY)??dx?xydy?0 ?????（6分）

0?x1x - 31 -

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 ?????（8分）

2、设随机变量X1,X2,X3相互独立且都服从(0,1)上的均匀分布，求U?max{X1,X2,X3}和V?min{X1,X2,X3}的数学期望。

?0，x?0,0?x?1.?1，解：因为X1,X2,X3的密度均为f(x)??,F(x)???x,0?x?1.

0,其它???1,x?1.所以（1）

?0,u?0,?FU(u)?P{U?u}?P{X1?u,X2?u,X3?u}?(F(u))3??u3,0?u?1,??（2分）

?1,u?1.???3u2,0?u?1,，随机变量U的数学期望E(U)??ufU(u)du fU(u)?F'U(u)?????0,其它.3??u?3u2du?.??????????????????????（4分） 041?0,u?0,? (2) FV(v)?P{V?v}?1?(1?F(u))3??1?(1?u)3,0?u?1, ???（6分）

?1,u?1.??3(1?u)2,0?u?1,fV(v)?F'V(v)??

?0,其它.所以随机变量V的数学期望E(V)??vfV(v)du??v?3(1?v)2dv???0?11??（8分） 4?12y2，0?y?x?1,2、已知二维随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)??

其他.?0，试求：数学期望E(X)和E(Y)。 解：E(X)???????????xf(x,y)dxdy

1x14????x?12y2dy?dx??4x4dx? ????（3分）

?0?0?0?5E(Y)???????????yf(x,y)dxdy

1x13????y?12y2dy?dx??3x4dx? ????（2分）

?0?0?0?5 - 32 -

1、二维随机变量(X,Y)的具有联合概率密度函数

?2,0?y?x,0?x?1 f(x,y)??

?0,其它.求E(X),D(X),E(Y),D(Y),Cov(X,Y),?XY.

2解：E(X)??2xdx?dy? ?????（2分）

3001x21xD(X)=2xdx蝌01xdy-041=?????（2分） 9181?????（2分） 3E(Y)=2dx蝌01ydy=0xD(Y)=2dx蝌00y2dy-x11?????（2分） =9181E(XY)=2xdx蝌00ydy=1 ?????（1分） 4COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1?????（2分） 36?XY?Cov(X,Y)1? ????（1分）

D(X)D(Y)21、二维随机变量(X,Y)的具有联合概率密度函数

?1,y?x,0?x?1 f(x,y)??

?0,其它.求E(X),E(Y),Cov(X,Y).

解：E(X)??dx?xdy?2?x2dx?0?x01x12 ?????（2分） 3E(Y)??dx?ydy?0 ?????（2分）

0?x1xE(XY)??dx?xydy?0 ?????（2分）

0?x1xCov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 ?????（2分）

19、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

- 33 -

X Y 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 求E(X)、E(Y)、E(XY)、D(X)、Cov(X,Y).

52解：E(X)?1?13?2?3?3 ??（1分）

52E(Y)?1?1?2??333 ??（1分）

811E(XY)?0?2?13?2?3?4?3?3??（2分）

22E(X2)?12?1?2?3?3 ??（1分） 32D(X)?E(X2)?E2(X)?9 ??（1分）

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??19??（1分）

十二、 大数定律与中心极限定理

4．设随机变量X的期望与方差分别为E(X)?0，D(X)?1，则用切比雪夫不等式估计下面概率值P{X?3}?____8/9____。

（ X）?2，则利用切比雪夫不等式估计概率 7、若随机变量X，E(X)?1,DP（|X-1|?3）? 7/9 ；

7、若随机变量X，E(X)?2,D(X)?1，则利用切比雪夫不等式估计概率

P?X?2?3??89；

6、设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计

P{X?E(X)?2}?____1/2____；

6、设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计

P{X?E(X)?2}?____1/2____；

1、设行宫市场上某菜贩每天能卖出的黄瓜量为随机变量X(kg)，已知X在区间[50,100]上服从均匀分布，黄瓜的进价为3元/kg，当天卖出价为5元/kg，若当天没有卖出，则第二天必须卖出，且卖出价为2元/kg。

- 34 -

（1）设y?[50,100]为菜贩进的黄瓜数量，求菜贩的收益期望值； （2）菜贩每日进黄瓜数量y为多少时，能赚到的钱最多，能赚到多少钱. 解：设某菜贩每天能卖出的黄瓜量为随机变量X(kg)，则X的密度函数为

?1?,50?x?100, f(x)??50??0,其它.菜贩的收益为随机变量Y(元)，则

?(5?3)X?(2?3)(y?X),X?y,Y??X?y.?(5?3)y,?3X?y,X?y,??X?y.?2y,y

1001113(?y2?250y?3750)，y?[50,100] （1）E(Y)??(3x?y)dx??2ydx?50y5050502（2）y?250400?83.3，代入得期望收益为?133.33 33即每日进黄瓜数量y为83.3kg时，期望收益最大，为133.33元。

1、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米。现从木柱中随机地取出100

根，问其中至少有30根小于3米的概率。

,?(2.5)?0.9938,?(3)?0.9987，根据需要选用。（已知?(2)?0.9772）

解：因为木柱中80%的长度不小于3米，所以其小于3米的概率为0.2，设X为100根木柱中长度小于3米的根数，则X~b(100,0.2)，其分布律为

?100?k100?k，k?0,1,?,100.E(X)?20，D(X)?16，（6分） P{X?k}???k??0.20.8??用棣莫佛-拉普拉斯定理，

P{X?30}?1?P{X?30}?1?P{30?20} （5分） 1616?1??(2.5)?1?0.9938?0.0062?X?201（本小题7分）：有一批梧桐树苗，其中90%的高度不低于3米。现从树苗中随机地取出300株，问其中至少有30株低于3米的概率。

,?(2.5)?0.9772,?(3)?0.9987，根据需要选用。（已知?(0)?0.5000）

解：因为树苗中90%的高度不低于3米，所以其低于3米的概率为0.1，设X为300株树苗中高度低于3米的株数，则X~b(300,0.1)，其分布律为

- 35 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库概率论与数理统计题库(7)在线全文阅读。