概率论与数理统计题库

一、 事件的关系与运算

1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ） （A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”. （C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.

8、 设A、B、C为三个事件，则事件“ A、B、C都不发生”可表示为 ( C )

(A) ABC ； (B) 1?ABC； (C) A B C； (D) A?B?C.

1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件Ai={第i幢楼房经评估鉴定为安全}（i=1，2，3）。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全” 用A1、A2、A3可表示为

A1A2 A3?A1A2A3?A1 A2A3；

二、 五大公式：

3、设X在1,2,3,4中等可能取值，Y再从1,?,X中等可能取一整数，则

P（Y?4）?（A）；

(A) 1/16 ； (B) 7/48； (C) 13/48； (D) 25/48.

B有概率P(A)?0.4，P(B)?0.5，1、已知事件A，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)?

0.62 ．

B有概率P(A)?0.4，1、已知事件A，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? P(B)?0.5，

0.78 ；

1、已知事件A，B有概率P(A)?0.4，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? 0.28 ；

1、设A、B、C是三个事件，P(A)?P(B)?P(C)?1/3，P(AB)?P(AC)?0，

P(BC)?1/4，则P(A?B?C)? 3/4（或0.75） ；

1、设P(A)?1/4，P(BA)?1/3，P(AB)?1/2，则P(A?B)? 1/3 ；

“甲地发生春季旱、情B?“乙地发生春季旱情”1、设A?是两个随机事件，且

P(A)?1/4，P(BA)?1/3，P(AB)?1/2，则C?“甲或乙地发生春季旱情”发生的概率为 1/3 ；

1、已知P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?0， P(AC)?P(BC)?1/6，则

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P(A?B?C)? 5/12 ；

1、已知P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?1/8，则P(A?B?C)? 5/8 ；

1、已知P(A)?1/2，P(B)?1/3， P(AB)?1/10，则P(AB)? 4/15 ； 6、 设A、B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B 相互独立 ； 1、设A?、B?是两个随机事件，且P(A)?3/4，“甲地房价下跌”“乙地房价下跌”发生的概率为 ； “甲或乙地房价下跌”P(BA)?2/3，P(AB)?1/2，则C?1、已知P(B)?b,P(AB)?c,且b?c，则P(B?A)? b-c ；

3、设A、B、C是随机事件，A与C互不相容， P(AB)?1/2,P(C)?1/3,则P(AB|C)? 3/4 ；

1．设事件A、B互不相容，P(A)?p，P(B)?q，则P(A?B)?

（A）(1?p)q. （B）pq. （C）p?q. （D）p. （ D ） 1、若P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A?B)?0.6，则P(BA)?（ C ）

(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；

1、若P(A)?1/4,P(BA)?1/3,P(AB)?1/2，则P(A?B)?（ C ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；

9、设P(A)?0.8,P(B)?0.7,P(A|B)?0.8,则下列结论正确的是（ A ）

(A) A与B相互独立； (B) A与B互斥； (C) B?A； (D) P(A?B)?P(A)?P(B). 8、对于任意事件A和B，有P(A?B)?（ C ）

(A) P(A)?P(B); (B) P(A)?P(B)?P(AB); (C) P(A)?P(AB); (D) P(A)?P(B)?P(AB). 9、设A、B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有（ C ）

(A) P(A?B)?P(A); (B) P(A?B)?P(B); (C) P(A?B)?P(A); (D) P(A?B)?P(B).

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1、从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8，不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加了培训。

（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？

（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？ 解：设事件A=“参加培训”，B=“英语CET4成绩超过425分”，则

P(BA)?0.8P(BA)?0.8，P(BA)?0.4，P(A)?0.7P(A)?0.3，所以 （1）P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.7?0.8?0.3?0.4?0.68。 （2）P(AB)?P(AB)P(A)P(BA)0.7?0.8???0.823529。 P(B)P(B)0.681、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，

并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。 问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？

解：设A1表示“螺丝钉由甲台机器生产”，A2表示“螺丝钉由乙台机器生产”， A3表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B表示“螺丝钉不合格”。

（1）由全概率公式P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； （5分） （2）由贝叶斯公式P(A1B)?P(A1)P(BA)P(B)?0.25?0.05 （3分） ?0.3623190.03451、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为0.15。有0.9的把握确定朋友会记得换水。 问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？

解：设A表示“朋友换水”，B表示“金鱼还活着”，则P(A)?0.9，P(A)?0.1，

P(BA)?1?0.15?0.85，P(BA)?0.15，P(BA)?0.2，P(BA)?0.8， （1）由全概率公式P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785； ?????????????（5分） （2）由贝叶斯公式P(AB)?P(A)P(BA)P(B)?0.1?0.8 ??（8分） ?0.3720931?0.7851、 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A?“任取一产品，经检验认为是合格品” ????????（2）

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B?“任取一产品确是合格品”

则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ????????（3） ?0.9?0.9?5 （2）

0?.10?.02

P(B|A)?P(AB)0.9?0.95??0.9977P(A)0.857. ????????（2）

1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求： （1）取出的球是白球的概率；

（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。

解：设 A=“选中的为甲盒”， A=“选中的为乙盒”， C=“选中的为丙盒”，D=

312“取出一球为白球”，已知P(A)?,P(B)?,P(C)?666

123P(D|A)?,P(D|B)?,P(D|C)?336 ???????????? (3分) ，

（1）由全概率公式 P(D)??????? ???????? (2分)

31?（2）由Bayes公式 P(A|D)?63?3 ???????????? (2分)

48931122363636694 1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。

解：设 A=“发出信号‘’”， B=“发出信号‘—’”， C=“收到信号‘·’”，已知

P(A)?0.6，P(B)?0.4，P(CA)?0.8，P(CB)?0.1????? (3分) （1）由全概率公式

P(C)?P(A)P(CA)?P(B)P(CB)?0.6?0.8?0.4?0.1?0.52 ??? (2分) （2）由Bayes公式 P(AC)?P(A)P(CA)P(C)?0.6?0.812? ?? (2分) 0.52131、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下

的数据：

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元件厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 市场份额 0.15 0.80 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂的概率

最大。

解：设A=“取到的一只元件是次品”，Bi=“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，i=1,2,3. 则

P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(AB1)=0.02, P(AB2)=0.01,

P(AB3)=0.03. ????????（2分） 于是(1) 由全概率公式得

P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3)=0.0125.

????????（2分） (2) 由贝叶斯公式得

P(B1A)=P(AB1)P(B1)P(A)=0.02′0.15=0.24,

0.0125P(AB3)P(B3)P(A)P(B2A)=P(AB2)P(B2)P(A)=0.64, P(B3A)==0.12.

故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。????????（3分）

1、在某工厂里有甲、乙、丙三条流水线生产灯泡，它们的产量各占25%、35%、40%，并且各流水线生产灯泡中不合格品率分别为5%、4%、2%。问：

（1）质检员现任取一只该厂灯泡，则该灯泡是不合格品的概率为多少？

（2）若现在检出该只灯泡是不合格品，则该灯泡是甲厂生产的概率为多大？

解：设A1表示“灯泡由甲台机器生产”，A2表示“灯泡由乙台机器生产”， A3表示“灯泡由丙台机器生产”，B表示“灯泡是不合格品”，????（2分） （1）由全概率公式P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； ????（3分） （2）由贝叶斯公式P(A1B)?P(A1)P(BA)P(B)?0.25?0.05 ?（2分） ?0.3623190.034515、据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中约有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，试求： (1)不吸烟者患肺癌的概率是多少？

(2)如果某人查出患有肺癌，那么他是吸烟者的可能性有多大？

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