概率论与数理统计题库(5)

1、二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

XY

?101

010.10.10.20.20.30.1（1）求E(X)和E(Y)；（2）求P(X?Y?1)；（3）X,Y是否相互独立。 解：（1）P(X??1)?0.1?0.2?0.3，P{X?0}?0.3?0.1?0.4，

P{X?1}?0.2?0.1?0.3，E(X)??1?0.3?0?0.4?1?0.3?0 P{Y?0}?0.1?0.1?0.2?0.4P{Y?1}?0.2?0.3?0.1?0.6，

E(Y)?0?0.4?1?0.6?0.6。?????????????（3分）

（2）P(X?Y?1)?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?0.5 ??????（3分） （3）因为P{X?0,Y?0}?0.1?P{X?0}P{Y?0}，X,Y不相互独立。（1分） 1、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定义随机

?0，第一次取得红球，?0，第二次取得红球，变量X??，Y??，求（1）二维随机变量(X,Y)，第一次取得白球；，第二次取得白球；?1?1的联合分布律；（2）求P{X?Y}；（3）X,Y是否相互独立。 解：（1）P{X?0,Y?0}?323233??，P{X?1,Y?0}??? 54105410323211P{X?0,Y?1}???，P{X?1,Y?1}??????（3分）

54105410（2）P(X?Y)?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?1}?0.4 ??????（3分） （3）因为P{X?0,Y?0}?0.3?P{X?0}P{Y?0}，X,Y不相互独立。（1分） 4、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。定义随机变

?0，第一次取得红球，?0，第二次取得红球，量X??，Y??，求

1，第一次取得白球；1，第二次取得白球；??（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律；（2）求P{X?Y}；（3）X,Y是否相互独立。

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解：（1）P{X?0,Y?0}?323233??，P{X?1,Y?0}??? 54105410323211P{X?0,Y?1}???P{X?1,Y?1}??????（3分） ，

54105410（2）P(X?Y)?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?1}?0.4 ??????（3分） （3）因为P{X?0,Y?0}?0.3?P{X?0}P{Y?0}，X,Y不相互独立。（1分） 4、设二维离散型随机变量?X,Y?的联合分布律为

Y X ?1 ?1 0 1 1 81 81 81 80 1 81 81 80 1 1 8证明：随机变量X与Y不相关，但是随机变量X与Y不独立． 解： X的边缘分布律为 X ?1 0 1 pi? Y的边缘分布律为 3 81 43 8Y ?1 0 1 p?j 3 813 48313因此，E?X????1???0??1??0 ?????（1分）

848313同理，E?Y????1???0??1??0 ?????（1分）

848 E?XY????1??111?0??1??0 ?????（1分） 424 - 22 -

所以，cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??0，表明随机变量X与Y不相关．

?????（2分）

但是，P?X?0,Y?0??0?P?X?0?P?Y?0??11? 44所以，随机变量X与Y不独立． ?????（2分） 21、设随机变量X、Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，要求说明推导过程。 Y y3 P(X?xi)?pi? y1 y2 X x1 x2 P(Y?yj)?p?j 解： Y 1 8 1 8 1 61 X y1 y2 1 8y3 1/12 1/4 1/3 P(X?xi)?pi? 1/4 3/4 1 x1 1/24 1 8x2 P(Y?yj)?p?j3/8 1/2 16 注：每填对一空给一分，共8分。 九、二维连续型随机变量的分布

1）上的均匀分布，4、设随机变量X与Y相互独立且均服从区间（0，P(X?Y?1/2)? ；

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11、设随机变量X、Y相互独立，fX(x)、fY(y)分别表示X、Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为 （ A ）

(A) fX(x)； (B) fY(y)； (C) fX(x)fY(y)； (D) .fX(x)/fY(y) 4、设(X,Y)的联合密度为 f(x,y)?k 22(1?x)(1?y)（1）求常数k；（2）求(X,Y)落入以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率; (3) X,Y是否独立？ 解：（1） 因为?（2分） （2）?10???????f(x,y)dxdy?k??1112k?，所以。 dxdy?k??12???1?y2??1?x2???101111。 （2分） f(x,y)dxdy?2?dxdy?16?01?x2?01?y211(3) fX(x)?111dy?， 2???222?(1?x)?(1?x)(1?y)??1fY(y)?111dx?， 2???222??(1?x)(1?y)(1?y)1所以 f(x,y)?fX(x)fY(x)，X,Y相互独立. （3分）

?12y2,0?y?x?1.2、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??

?0,其他.试求（1）边缘密度函数fX(x)，fY(y)；（2）E(XY)。

??解：(1) fX(x)?????x12y2dy,0?x?1,?4x3,0?x?1,?f(x,y)dy???0??

0,其他.???0,其他.fY(y)???????112y2dx,0?y?1,?12y2(1?y),0?y?1,?f(x,y)dx???y?? ?（4分）

?0,其他.??0,其他.????（2）E(XY)???????xyf(x,y)dxdy

1x1????xy?12y2dy?dx??3x5dx?0.5 ????（2分）

?0?0?0? - 24 -

3、设X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度函数为

y?1?2?e,y?0, fY(y)??2?0,y?0.?求（1）X和Y的联合概率密度函数；

（2）设含有a的二次方程a2?2Xa?Y?0，求a有实根的概率(已知?(1)?0.841，3?(2)?0.9772,?(0)?0.5000，2??2.5066根据需要选用)。

解： X的概率密度函数为fX(x)???1,0?x?1,（1）因为X和Y是两个相互独立的

?0,其它.随机变量，所以X和Y的联合概率密度函数为

y?1?2?e,0?x?1,y?0,f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?????????（3分）

?0,其它.?

（2）二次方程a2?2Xa?Y?0有实根的充要条件为4X2?4Y?0，即X2?Y?0，所求概率为

P{X2?Y?0}??dx?01x201?1edy????e02?y?2y?2x??12?dx??01?edx?0x22?1?2??1012?e?x22dx?1?2?(?(1)??(0))。????（8分）

?1?2.5022(0.8413?0.5000)?0.14454、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，

且均服从N(0,22)分布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)1?x2?y2?2}的概率；（2）

命中点到目标中心距离Z?X2?Y2的数学期望. 解： （1）P{(X,Y)?D}???f(x,y)dxdy

D???D1e8?2?x2?y28dxdy?218??2?0d??221e?r28rdr

???1e?r28??rrd(?)???e88??211?????e8?e4；???（4） ??1 （2）

EZ?E(X2?Y2)???18??????????1?x2?y2?e8?1e4?0???r28x2?y28dxdy

??02???0re?r28rdrd??r2dr????????（3）

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