概率论与数理统计题库(3)

1x?x?0,?2e,X的分布函数为F(x)?? ????????????（3分）

1?x??1?2e,x?0.?0,x??1,?2、设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)??A?Barcsinx,?1?x?1,求

?1,x?1.?（1）A和B；（2）P{X?1/2}；（3）概率密度函数f(x);（4）E(X).

?F(?1?0)?A?arcsin(?1)?0?F(?1?0)11解：（1）?，A?,B?. ??(2分)

2?1)?1?F(1?0)?F(1?0)?A?arcsin((2) P{X?1/2}?F(1/2)?F(?1/2)?0.5 ????????????(2分)

1?,x?1,11?2dx?0???(2分) （3） f(x)???1?x???(2分)（4）E(X)??x?12?1?x?0,x?1.?2、设随机变量X具有概率密度

ìkx,0?x3,????xf(x)=?í2-,3＃x4,

?2???其它.??0,7). 2

(1)确定常数k；（2）求X的分布函数F(x)；（3）求P(1

ì0,x<0,???xx??dx,0?x3,?ò?06F(x)=镲眄3x镲xx镲dx+(2-)dx,3?x镲蝌镲0632镲镲镲镲?1,x34.=4,ì0,????x2??,??122x<0,0?x3,?（3分）

-3+2x-??1,x,3?x4,4x34. - 11 -

(3) P{1

ì0,x<1,???F(x)=?ílnx,1?xe, 试求：

??x3e.???A,X<5). 2(1)常数A；（2）X的概率密度f(x)；（3）P(X<2),P(0

1ì,1

?0,其他.??(3)P(X?2)?P(X?2)?F(2)?ln2； P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1

55P(2?X?52)?F(2)?F(2)?ln4 ????????（3分）

六、 一维随机变量的函数的分布求法

Xpk?101Y，则Y=X2的分布律为

0.20.50.3pk010.50.56、 已知随机变量X的分布律是 ；

3、设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y?3X?1的分布函数为（ A ）

1111（A）F(y?)；（B） F(3y?1)；（C） 3F(y)?1；（D F(y)?；

33333、设随机变量X的概率密度为f(x)?（ B ） （A）

1,???x???，则Y?2X的概率密度为2?(1?x)1121arctany； ；（B）；（C） ；（D） 222??(1?4y)?(4?y)?(1?y)4、设圆的半径R~U(0,1)，求圆的面积S??R2的分布密度。

?1,0?r?1,解：因为R~U(0,1)，f(r)??

?0,其它.当s?0，F(s)?P{S?s}?0；当0?s??，

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F(s)?P{S?s}?P{?R?s}?P{?2s??R?s?}?P{0?R?ss?}???01dr?s?；当

s??，F(s)?P{S?s}?1

?1,0?s??.所以f(s)?F'(s)?? ?2?s?0,其它.?1、设长方形的长X~U(0,1)，已知长方形的周长为2，求长方形面积的数学期望和方差。

?1,0?x?1,解：因X~U(0,1)，故f(x)?? ????????（1分）

?0,其他；面积为A?X(1?X)，所以

E(A)?E(X(1?X))??????x(1?x)f(x)dx??x(1?x)dx?0????111????（2分） 61， 30E(A2)?E(X2(1?X)2)??x2(1?x)2f(x)dx??x2(1?x)2dx?0D(A)?E(A2)?E2(A)?111????????????（3分） 30361802、若X~N(0,1)，Y?eX，求Y的概率密度函数。

解：因为当y?0时，Y?eX?y是不可能事件，所以FY(y)?P{Y?y}?0； 又当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?FX(lny)（5分）

?1?(lny)1e2?,y?0,?所以Y的概率密度函数fY(y)?FY'(y)??2?（3分） y?,y?0.?0,21、设X~N(0,1)，求Y?X的概率密度。

解：设随机变量X和Y的分布函数分别为FX(x)、FY(y)，先求Y的分布函数FY(y)。由于Y?X?0，故当y?0时，FY(y)?0 ????????（1分） 当y?0时，有FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)， 将FY(y)关于y求导数，即得Y的概率密度为

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?2?y?2[fX(y)?fX(?y)],y?0,?e2,y?0,fY(y)??????????（4分）

0,y?0.??0,y?0.?21、设X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度。

解：设随机变量X和Y的分布函数分别为FX(x)、FY(y)，先求Y的分布函数FY(y)。由于Y?X2?0，故当y?0时，FY(y)?0 ????????（2分） 当y?0时，有

FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)， 将FY(y)关于y求导数，即得Y的概率密度为

y??1?1[fX(y)?fX(?y)],y?0,?e2,y?0,??????（4分） fY(y)??2y??2?y?0,?y?0.y?0.??0,1、设随机变量X~U(0,1)，求Y?e2X的分布密度函数fY(y)。

?1,0?x?1,解：因X~U(0,1)，故fX(x)?? ????????（1分）

?0,其他；?0,y?1,?0,y?1,?1?11?2lny?2?y}?P{X?lny}???fX(x)dx,1?y?e,??lny,1?y?e2,??（3

022??21,y?e2.??1,y?e.??FY(y)?P{e2X分）

?0,y?1,??1fY(y)?FY'(y)??,1?y?e2,???????（2分）

?2y?1,y?e2.??x,3、设随机变量X具有概率密度fX(x)??8???0,0?x?4其它，

求随机变量Y=2X+8的概率密度。

y?8)??2fX(x)dx ?（3分） 解： FY(y)?P(Y?y)?P(2X?8?y)?P(X???2y?8 - 14 -

?1y?81),y?8y?8?(?fY(y)?fX()()??82222??0，?y?8,8?y?16，???32?其它.?0，0?y?8?4，2其它，?（3分）

?1?2,?1?x?0,?21Y?X17、设随机变量X具有概率密度fX(x)??令,求随机变量Y的概,0?x?2,??4他.?0,其??率密度fY(y).

解： FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y) ???????（1分） 当y?0时，FY(y)?0 ??????（1分） 当0?y?1时，FY(y)?P(?y?X?y)??1?y20dy??y0143dy?4y；?（1分）

当1?y?4时，FY(y)?P(?y?X?y)?1；???????（1分） y?142当4?y时，FY(y)?1； ?????????（1分）

?30,y?0,??8y?3??y,0?y?1,?1?fY(y)?FY?(y)??所以，FY(y)??4?8y?1y?1,1?y?4,?0?42??14?y.??,0?y?1,,1?y?4,??（2分） ,其他.注：能写出FY(y)即可给分，分布函数求解过程中步骤不全可酌情给分。

七、常见随机变量的分布与数字特征

2．设X~b(n,p)，E(X)?2.4，D(X)?1.44，则n?__6___，p?__0.4___。

2、设X~b(n1,p)，Y~b(n2,p)则X?Y~b(n1?n2,p)；

1．设离散型随机变量X~b(1,p)，P{X?0}?4P{X?1}，则P{X?0}?__0.8___。 3、若X~?(?) 且P(X?1)?3P(X?2)，则?? 2/3 ；

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