概率论与数理统计题库(2)

解：设A=“吸烟”，C=“患肺癌”，则 P(C)?0.001,P(A)?0.2,P(C|A)?0.004 ????????（2分） 于是(1) 由全概率公式得

P(C)=P(CA)P(A)+P(C|A)P(A) 即 0.00?12分） 0.?004?P0.C2A?( | )0.8 ????????（

得P(C|A)?0.00025 ????????（1分） (2) 由贝叶斯公式得

P(AC)=P(CA)P(AP(C)=0.2′0.004=0.8 ????????（2分）

0.001三、 三大概型(古典、几何、伯努利)

2、设10件中有3件是次品。今从中随机地取3件，则这三件产品中至少有1件是次品

33的概率为1?C7/C10(或17/24)；

2、已知10件产品中由2件次品，在其中任取2次，每次任取一件，作不放回抽样，则其中一件是正品，一件是次品的概率为 16/45 ；

2、10张彩票中有5张是有奖彩票。从中任意抽取5张，其中至少有两张中奖的概率为

0514C5C5C5C113； 1?5?55或126C10C102、10张彩票中有5张是有奖彩票。从中每次取一张，作不放回抽样，前3次都中奖的

概率为 1/12 ； 2、一部4卷的文集随机地排放在书架上，卷号恰好是自左向右或自右向左的呈1、2、3、4排列的概率是 1/12 ；

2、同时抛掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为 0.375 ； 2、袋中有10个球（3个红球，7个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为 0.3 ;

1、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为（ C ）

(A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8； 1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则在第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为（ B ）

(A) 4p2(1?p)2； (B) 3p2(1?p)2； (C) 2p2(1?p)2； (D) p(1?p)3；

1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ） (A)

3313； (B) ； (C) ； (D) ； 542101、 一学生接连参加同一资格证的两次考试。第一次及格的概率为1/2.如果第一次及格那么他第二次考试及格的概率也为1/2。如果第一次不及格那么他第二次及格的概率为

- 6 -

1/4.如果两次中至少有一次及格他就能取得该资格证，则他取得该资格证的概率为 ( C )

(A) 1/8 ； (B) 3/8； (C) 5/8； (D) 7/8.

2、已知某型电子器件寿命X(以天计)的概率密度函数为 ?10?,x?10, f(x)??x2??0,x?10.（1）求X的分布函数F(x). （2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y表示寿命大于15天的器件的只数，求Y的分布律。 x??解：（1）因为当x?10时，F(x)??0dx?0，当x?10时，

F(x)??0dx????1010?10?dx????10x2?x?10xx?1010?1?,x?10,（4分） ?1?，故F(x)??xx?x?10.?0,（2）因为任意一只器件寿命X大于15天的概率为p?1?F(15)?2， 32 又各器件损坏与否相互独立，所以Y服从b(10,)，概率分布律为

3?10??2??1? P{X?k}???k???3??3???????k10?k,k?0,1,2,?,10. ??????（8分）

2、已知随机变量X的概率密度函数为 x?1?cos,0?x??,f(x)??2 2??0,其他.（1）求X的分布函数F(x). （2）现对X独立地重复观察4次，以Y表示大于?/6的次数，求Y的分布律。 x??解：（1）因为 当x?0时，F(x)??0dx?0，当0?x??时，

F(x)??0dx????0x01xx?x?cosdx??sin?sin，当?2222??0xx??， F(x)?1，故

?0,x?0,?????????（4x?F(x)??si,n0?x??，2?，x??.??1分）

（2）因为X大于?/6的概率为p?1?F(?/6)?1?sin(?/12)，所以Y服从b(4,1?sin(?/12))，概率分布律为

P{X?k}??????1?sin(?/12)??sin(?/12)?k?4??k?4?k,k?0,1,2,3,4. ??????（4分）

- 7 -

四、 一维随机变量的分布及性质

X?1,X?0,5．设随机变量X~U(?1,2)，令Y??，则Y的分布律为pk?1,X?0.?

?111323 ?0,x??1?0.4,?1?x?1?4、随机变量X的分布函数是F(x)??，则X的分布律是

0.6,1?x?3???1,3?xXpk?113，P(?1?X?3)? 0.4 ；

0.40.20.4?1?1,X?4,?2,x?1,X9、设随机变量的概率密度为f(x)??x，令Y??，则Y的分布律为

?2,X?4.?0,x?1.?Ypk123414 ；

?0,x??1?0.6,?1?x?1?4、随机变量X的分布函数是F(x)??，则P(?1?X?3)? 0.4 ；

?0.8,1?x?3??1,3?x3、设离散型随机变量X的概率分布为

X?1,0,1,23，则P(1?X?)= 1/4 ；

P11112，，，8842?0,x??1?0.3,?1?x?1X3、设X的分布函数是F(x)??，则X的分布律是?pk?0.7,1?x?3??1,3?x?113； 0.30.40.3?0,x??1,4、设随机变量X的分布函数为F(x)???A?Barcsinx,?1?x?1,则A= 1/2 ,B=1/? ；

?1,x?1.?3、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}??k，k?1,2,?，则参数??1/2 ; 2．设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}???k，k?1,2,?且??0，则参数?? （A）??

11 （B）????1 （C）?? （D）不能确定 （ C ） ??1??1- 8 -

2、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}??k，k?1,2,?，则参数??（ D ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2； 3、设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?A,???x??，则参数A?（ D ） 21?x(A) 0 ； (B) 1； (C) ?； (D) 1/?；

2、设随机变量X的概率分布律为P{X?k}?b?k,b?0,k?1,2,?，则参数??（ C） (A) ??0的任意实数； (B) ??b?1； (C) ??11；(D) ??； b?1b?12、设随机变量X的概率分布律为P{X?k}?3?k,k?1,2,?，则参数??（ C） (A) ??0的任意实数； (B) ??4； (C) ??

11

； (D) ??. 42

2、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}??k，k?1,2,?，则参数??（ D ）

(A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2.

4、假设某潜在震源区年地震发生数X服从参数为??2的泊松分布，则未来一年该震源区发生至少一次地震的概率为1?e；

?2五、 连续型概率密度与分布函数的相关计算

?1?e??x,x?05、连续型随机变量的分布函数为F(x)??，则概率密度函数为

x?0?0??e??x,x?0； f(x)??x?0?0?0,x?0,?4、随机变量X的分布函数是F(x)??x2,0?x?1,，则随机变量X的概率密度函数为

?1,x?1.??2x,0?x?1,； f(x)??0,其他.??0,x?0,?4、随机变量X的分布函数是F(x)??x,0?x?1,，则随机变量X的概率密度函数为

?1,x?1.? - 9 -

?1/(2x),0?x?1,f(x)??；

?0,其他.?4x3,0?x?1,5、设随机变量的概率密度为f(x)??，若P{X?a}?P{X?a}，则

?0,其他.a?1/42；

7、随机变量K在(0,5)内服从均匀分布，则关于x的方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率为_____3/5（或0.6）__；

4、设随机变量A在[1,6]上服从均匀分布，则方程x2?Ax?1?0有实根的概率为 4/5或0.8 ；

3、随机变量X的概率密度为

?ax?1,0?x?2,f(x)??其它. ?0, 求（1）常数a； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1?X?3) 解：（1）因为?

x?????f(x)dx??(ax?1)dx?2a?2?1，所以a??1/2. （3分）

02（2）因为F(x)???0,x?0,?0,x?0,??x1x2??f(t)dt???(?t?1)dt,0?x?2??x?,0?x?2,（4分） 024?????1,x?2.?1,x?2.11（3）因为X为连续型随机变量，P{1?X?3}?F(3)?F(1)?1?(1?)?。或

44P(1?x?3)??312x1f(x)dx??(1?)dx?124 （4分）

2、随机变量X的概率密度为

?xf(x)?Ae,???x???，

求（1）常数A； （2）P{0?X?1}； （3）X的分布函数F(x)。

解：（1）1?? ∴ A?????f(x)dx??????Ae?xdx?2A???0e?xdx??2Ae?x????0?2A，

12

1 ????????????（2分）

1?x1?e?1.????????（2分） （2）P{0?X?1}??edx?022xx11etdt?ex，当x?0时， （3）当x?0时，F(x)??f(t)dt??????22F(x)??

x??x11t1?1??1?f(t)dt??edt??e?tdt??et????e?t??1?e?x，

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