突破140分之高三数学解答题高端精品专题1-8 极值点偏移第六招--(3)

记函数y?f??x?的导函数为y?f???x?，则

G??x??f??x??f???x??1?1?1?1????f?f???? 22x?x?x?x??1??11?1?1?1?x?2 ??x?????2??2??x??2??x???xxxx22xx??????????x?1??x?1x?1?2?0， 2xxxx故G?x?在?1,???上单调递增， 所以G?x??G?1??0，所以g?x??g??1???0， ?x?不妨设0?x1?1?x2，则g?x1??g?x2??g??1??， ?x2?而0?x1?1， 0?11?1，有单调性知x1?，即x1x2?1. x2x212ax?bx且函数y?f?x?图象上点?1,f?1??处的切线斜率为2★已知函数f?x??lnx?0.

（1）试用含有a的式子表示b，并讨论f?x?的单调性；

（2）对于函数图象上的不同两点A?x1,y1?,B?x2,y2?如果在函数图象上存在点

M?x0,y0?,?x0??x1,x2??使得点M处的切线l?AB，则称AB存在“跟随切线”.特别地，

当x0?x1?x2时，又称AB存在“中值跟随切线”.试问：函数f?x?上是否存在两点A,B使2得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A,B的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析（2）不存在

令t?x1x,(0?t?1)， 2构造函数g?t??lnt?2?t?1?t?1,(0?t?1)，

则g?t??14t??t?1?2??t?1?2t?t?1?2， 则t??0,1?时，g?t??0恒成立，

故y?g?t?在?0,1?上单调递增从而得出不存在 试题解析：

函数y?f?x?的定义域为?0,???，且f'?x??1x?ax?b， 又f'?1??0，整理得b?a?1. （1）f'?x??1x?ax?b?1x?ax?a?1??ax?1???x?1?x. 1）当a?0时，易知x??0,1?， f'?x??0,x??1,???时f'?x??0， 故y?f?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减. 2）当a?0地，令f'?x??0，解得x?1或x??1a，则 ①当?1a?1，即a??1时，

f'?x??0在?0,???上恒成立，则y?f?x?在?0,???上递增.

当?1?a?0时，y?f?x?在?0,1?及??调递减.

当a??1时， y?f?x?在?0,???上递增. 当a??1时， y?f?x?在?0,?1??1??,???上单调递增：y?f?x?在?1,??上单

a??a????1??1?及上单调递增； 在1,??y?fx???????,1?上递减. a??a?

点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.

★已知函数f?x??xlnx?ax?x?a?a?R?在其定义域内有两个不同的极值点.

2（1）求a的取值范围.

（2）设f?x?的两个极值点为x1,x2，证明x1x2?e2. 【答案】（1）

1?a?0（2）见解析 ?2e

试题解析：（1）依题意，函数f?x?的定义域为?0,???，所以方程f??x??0在?0,???有两个不同根.即方程lnx?2ax?0在?0,???有两个不同根. 转化为，函数g?x??又g??x??lnx与函数y??2a的图象在?0,???上有两个不同交点 x1?lnx，即0?x?e时， g??x??0， x?e时，g??x??0， 2x1所以g?x?在?0,e?上单调增，在?e,???上单调减，从而g?x?极大=g?e??.

e又g?x?有且只有一个零点是1，且在x?0时，g?x????，在x? g?x??0，??时，所以由g?x?的图象，

lnx与函数y??2a的图象在?0,???上有两个不同交点， x11?a?0 只需0??2a?，即

e?2e要想函数g?x??（2）由（1）可知x1,x2分别是方程lnx?ax?0的两个根，即lnx1?ax1， lnx2?ax2，

x1x2x设x1?x2?0，作差得， ln1?a?x1?x2?，即a?.

x1?x2x2ln原不等式x1x2?e2等价于lnx1?lnx2?2 ?a?x1?x2??2 ?lnx12?x1?x2? ?x2x1?x2

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