突破140分之高三数学解答题高端精品专题1-8 极值点偏移第六招--(2)

aa4x2?0， 则h?(x)??f?(?x)?f?(?x)?aa22(?x)(?x)22从而h(x)在(0,)上单调递增，故h(x)?h(0)?0，即f(?x)?f(?x) 对x?(0,)恒成立，

a2a2a2a2a)，则f(x2)?f(x1)?f(a?x1)， 2aa由x2,a?x1?(,??)，且f(x)在(,??)单调递增，

22从而f(x)?f(a?x),(0?x?故x2?a?x1， 即

x1?x2ax?x?，从而f?(12)?0成立. 222招式演练：

★已知函数f?x??lnx?ax?b?a,b?R?有两个不同的零点x1,x2． ?I?求f?x?的最值；

?II?证明：

x1?x2?1． 2a【答案】（1）f?x?max??lna?1?b，无最小值 （2）见解析

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.

★已知函数g?x??xe?2?a?x?a?R?， e为自然对数的底数.

（1）讨论g?x?的单调性；

（2）若函数f?x??lng?x??ax的图象与直线y?m?m?R?交于A、B两点，线段AB中

2点的横坐标为x0，证明： f??x0??0（f??x?为函数f?x?的导函数）

【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）∵f?x??lnxe∴f??x????2?a?x??ax2?lnx??2?a?x?ax2(x?0)，

?2x?1??ax?1?1??2?a??2ax??， xx当a?0时， f??x??0,y?g?x?在?0,???上单调递增，与直线y?m不可能有两个交点，故a?0．

令f??x??0，则0?x?11?1?；令f??x??0，则x?，故y?g?x?在?0,?上单调递增，aa?a?在?1?1?,???上单调递减．不妨设A?x1,m?,B?x2,m?，且0?x1??x2，

a?a?要证f??x0??0，需证ax0?1?0， 即证x0?122?2??x1?x2??x2??x1?f?x2??f??x1?， aaa?a?1?2??x1?，即证：当0?x?时，

a?a?又f?x1??f?x2?，所以只需证f?x1??f?

?2?f??x??f?x??0． ?a?设F?x??f??2??x??f?x??ln?2?ax??ln?ax??2ax?2， ?a?2?ax?1??a1??2a???0， 则F??x??2?axxx?2?ax?∴F?x??f?2?2??1??1??21??x??f?x?在?0,?上单调递减，又F???f?????a??a??a??aa??2??x??f?x??0，原不等式成立． ?a?32?1?f???0， ?a?故F?x??f?★已知函数f?x??ax?lnx?2的图象的一条切线为x轴.（1）求实数a的值；（2）令3g?x??f?x??f??x?，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g?x1??g?x2?，求证：

x1x2?1.

[gkstkgkstk.gkstk

x0?1【答案】（1）{2（2）见解析

a?3

当x?1时， 0?

1?1， x记G?x??g?x??g???1???1??hx?????h????f?x??f??x????x???x???1??1?f???f???， ?x??x?

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