山东省泰安市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析

【名师解析】山东省泰安市2015届高三上学期期中考试数学

（理）试题

本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：集合，不等式、复数、向量、导数，函数模型、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.

【题文】一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【题文】1.设集合A?x2x?1?3，集合B?xy?1g?x?1?，则A?B等于 A.?1,2? C.?1,2?

B.?1,2? D.?1,2?

????【知识点】集合及其运算A1

【答案解析】C A?x2x?1?3={xx?2},B?xy?1g?x?1?={xx?1} 所以A?B=?1,2?，故选C.

【思路点拨】先求出集合A,B,再求出结果。 【题文】2.如果命题“??p?q?”为真命题，则

A.p,q均为真命题 B.p,q均为假命题

C.p,q中至少有一个为真命题 D.p,q中一个为真命题，一个为假命题 【知识点】命题及其关系A2

【答案解析】B 因为??p?q?为真命题，则p?q为假命题，所以p,q均为假命题， 故选B。

【思路点拨】根据逻辑连结词求出结果。

【题文】3.设a?sin31，b?cos58,c?tan32，则 A.a?b?c B.c?b?a C.c?a?b D.b?c?a 【知识点】三角函数的图象与性质C3

【答案解析】B 因为tan32?tan30?3?1，cos58=sin32>sin31且小于1， 所以c?b?a，故选B.

【思路点拨】根据三角函数的单调性求出结果。

【题文】4.若点?16,2?在函数y?logax?a?0且a?1?的图象上，则tan?????????oooa?的值为 3A.?3

B.?3 3C.3 3

D.3

【知识点】对数与对数函数B7 【答案解析】D ∵点（16，2）在函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象上，∴2=loga16， 4??a?=tan=tan=3故选：D． 333a?【思路点拨】由条件求得a的值，再利用诱导公式求得tan 的值 3∴a2=16，a=4，∴tan【题文】5.设数列?an?是公比为q的等比数列，则“0?q?1”是“?an?为递减数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3

【答案解析】D ∵数列{an}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”，∴当a1＜0时，“{an}为递增数列”，又∵“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选：D

【思路点拨】根据等比数列 的性质可判断：当a1＜0时，“0＜q＜1”“{an}为递增数列”；{an}为递减数列”，a1＜0时，q＞1，根据充分必要条件的定义可以判断答案．

x?1【题文】6.给定函数①y?x，②y?log1?x?1?，③y?x?1，④y?2，其中在区间

212?0,1?上单调递减的函数序号是

A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【知识点】函数的单调性与最值B3

【答案解析】B ：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数y?log1?x?1?向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，2+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x-1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B． 【思路点拨】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①y?x12 为增函数，②y?log1?x?1? 2 为定义域上的减函数，③y=|x-1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【题文】7.设?是第二象限角，P?x,4?为其终边上的一点，且cos??A.?1x，则tan2?等于 524 7

B.?12 7C.

12 7 D.

24 71xx=，254?x【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2

【答案解析】D ∵α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x＜0，∴x=-3，∴tanα=- 42tan?24 则tan2α= = 故选：D． 31?tan2?7【思路点拨】由条件利用任意角的三角函数的定义求出tanα的值，再利用二倍角的正切公式

求得tan2α的值．

【题文】8.在各项均不为零的等差数列?an?中，若an?1?an?an?1?0?n?2?，则S2n?1?4n2等于 A.?2 B.0 C.1 D.2

【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2 【答案解析】A 设公差为d，则an+1=an+d，an-1=an-d，由an+1-an2+an-1=0（n≥2）可得2an-an2=0，解得an=2（零解舍去），故S2n-1-4n=2×（2n-1）-4n=-2，故选A． 【思路点拨】由等差数列的性质可得an+1+an-1=2an，结合已知，可求出an，又因为s2n-1=（2n-1）an，故本题可解．

【题文】9.若函数f?x??ka?ax?x???上既是奇函数又是增函数，?a?0且a?1?在???，则函数g?x??loga?x?k?的图象是

【知识点】函数的图像B8

【答案解析】C ∵函数f（x）=kax-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函数 则f（-x）+f（x）=0即（k-1）（ax-a-x）=0则k=1 又∵函数f（x）=kax-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数则a＞1 则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C 【思路点拨】由函数f（x）=kax-a-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象． 【题文】10.已知函数f?x??x2?ex?1?x?0?与g?x??x2?ln?x?a?的图象上存在关于2y轴对称的点，则a的取值范围是

A.??,e

??

B.???,??1?? e?C.????1?,e? e?

D.??e,??1?? e?【知识点】函数的单调性与最值B3

1=（-x0）2+ln（-x0+a）， 211即ex0- -ln（-x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，ex0--ln（-x0+a）也趋近于负2211无穷大，且函数h（x）=ex--ln（-x+a）为增函数，∴h（0）=-lna＞0， 221∴lna＜ln，∴0＜a＜e，故答案为：A. 21【思路点拨】由题意可得：存在x0∈（-∞，0），满足x02+ex0-=（-x0）2+ln（-x0+a）， 211函数h（x）=ex--ln（-x+a）的图象和性质，得到h（0）=-lna＞0，继而得到答案． 22【答案解析】A 由题意可得：存在x0∈（-∞，0），满足x02+ex0-【题文】二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应

位置.

【题文】11.已知sin?????3?2?1??，则cos2?? ▲ . ?3【知识点】二倍角公式C6 【答案解析】?73?? 因为sin???92?1?12??=-cos，所以cos=-,则cos2??2cos??1 ??3?3= ?77,故答案为?。 99【思路点拨】先根据诱导公式求出余弦值，再根据二倍角公式求出结果。

【题文】12.已知向量a，b的夹角为45°，且a?1,2a?b?10，则b? ▲ . 【知识点】平面向量的数量积及应用F3

【答案解析】32 因为a、b的夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10， 所以4a2-4a?b+b2=10，即|b|2-22|b|-6=0，解得|b|=32或|b|=-b（舍） 故答案为32． 【思路点拨】将|2a-b|=10平方，然后将夹角与|a|=1代入得到|b|的方程，解方程可得． 【题文】13.由曲线y?x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为 ▲ .

【知识点】定积分与微积分基本定理B13 【答案解析】16 如图所示： 3 ??x?4?y?x?2联立?解得?，∴M（4，2）．由曲线y=x，直线y=x-2及y轴所围成的图y?2???y?x形的面积S=?40231[x-(x-2)]dx=(x2-x2+2x) 3240=16． 3【思路点拨】利用微积分基本定理即可求出．

【题文】14.数列?an?的前n项和Sn?log0.1?1?n?，则a10?a11?????a99? ▲ . 【知识点】数列求和D4

【答案解析】-1 ∵数列{an}的前n项和Sn=log0.1（1+n），∴a10+a11+…+a99=S99-S9 =log0.1（1+99）-log0.1（1+9）=log0.1100-log0.110=-2-（-1）=-1．故答案为：-1． 【思路点拨】由数列{an}的前n项和Sn=log0.1（1+n），知a10+a11+…+a99=S99-S9，由此能求出结果．

【题文】15.定义在R上的奇函数f?x?满足f?x?4??f?x?，且在?0,2?上f?x?? ???x?1?x?,0?x?1，则

??sin?x,1?x?2?29?f????4??41?f??? ▲ . ?6?【知识点】函数的奇偶性与周期性B4

52933 由f（x+4）=f（x），得函数的周期是4，则f（）=f（8-）=f（-）， 1644433313∵f（x）是奇函数，∴，f（-）=-f（）=-×=-， 444416417777??1f（）=f（8-）=f（-）=-f（）=-sin=sin=， 666666229411355则f（）+f（）=-=，故答案为：． 462161616【答案解析】【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论．

【题文】三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 【题文】16.（本小题满分12分）

?1?. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A?1,4?，B??2,3?，C?2，

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