突破140分之高三数学解答题高端精品专题1-8 极值点偏移第六招--

值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.

下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法. ★已知f?x??xlnx?12mx?x，m?R．若f?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，2求证：x1x2?e2（e为自然对数的底数）． 解法一：齐次构造通解偏移套路

?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1．

于是lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x11?t?lnt?x2又0?x1?x2，设t?，则t?1．因此，lnx1?lnx2?，t?1．

t?1x1要证lnx1?lnx2?2t?1?lnt2?t?1???2， t?1．即：当t?1时，有lnt?，即证：．设

t?1t?122?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1????0， 函数h?t??lnt?，t?1，则h?t???22t?1tt?t?1??t?1?所以，h?t?为?1.???上的增函数．注意到，h?1??0，因此，h?t??h?1??0．

于是，当t?1时，有lnt?解法二 变换函数能妙解

2?t?1?．所以，有lnx1?lnx2?2成立，x1x2?e2． t?1证法2：欲证x1x2?e2，需证lnx1?lnx2?2．若f?x?有两个极值点x1，x2，即函数f??x?有两个零点．又f??x??lnx?mx，所以，x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根．显然m?0，否则，函数f??x?为单调函数，不符合题意． 由??lnx1?mx1?0?lnx1?lnx2?m?x1?x2?，

lnx?mx?0?22

解法三 构造函数现实力

证法3：由x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根得m?lnxlnx，令g?x??，xxg?x1??g?x2?，由于g??x??1?lnx，因此，g?x?在?1,e??，?e,????． x22?e2?e2设1?x1?e?x2，需证明x1x2?e，只需证明x1?只需证明f?x1??f??，??0,e?，

x2?x2??e2?即f?x2??f??，即f?x2???x2??e2?f???0．gkstk 微信公众号 中学数学研讨部落 ?x2??1?lnx??e2?x2??e2?即h?x??f?x??f???x??1,e??，故h?x?在?1,e??，h??x???0，22xex??

?e2??e2?故h?x??h?e??0，即f?x??f??．令x?x1，则f?x2??f?x1??f??，因为x2，

?x??x1?e2e2??e,???，f?x?在?e,????，所以x2?，即x1x2?e2． x1x1解法四 巧引变量（一）

证法4：设t1?lnx1??0,1?，t2?lnx2??1,???，则由??lnx1?mx1?0得

lnx?mx?0?22?t1?met1kkekt1t1?t2t?t?，设，则，．欲证x1x2?e2，k?t?t?0??e?2112t2kke?1e?1t2?t2?me

解法五 巧引变量（二）

证法5：设t1?lnx1??0,1?，t2?lnx2??1,???，则由??lnx1?mx1?0得

lnx?mx?0?22?t1?met1klnklnkt1t1t1?t2t?t?，设，则，． ?k?0,1??e???12t2k?1k?1t?mett2?22欲证x1x2?e2，需证lnx1?lnx2?2， 即只需证明t1?t2?2，

即

?k?1?lnk?2?lnk?2?k?1??lnk?2?k?1??0，

k?1k?1k?122?k?1??k?1??0，

?k?0,1gk?设g?k??lnk?，??????2k?1k?k?1?故g?k?在?0,1??，因此g?k??g?1??0，命题得证．

★已知函数f(x)?x2?(a?2)x?alnx，若方程f(x)?c有两个不相等的实数根x1,x2，求证：f?(x1?x2)?0. 2

x1?x2a)?0?f?()，结合f?(x)的单调性， 22x?x2a? 即证：122欲证：f?(x1?2x12x1?2x2x2x12?2x1?x22?2x2?ln??等价于证明：x1?x2?

xx2x1?x2x1?lnx1?x2?lnx21?1x22令t?2t?2x1,(0?t?1)， ,(0?t?1)，构造函数g(t)?lnt?t?1x2求导由单调性易得原不等式成立，略. 法二：接?后续解:

由?得：(x1?x2)(x1?x2)?(a?2)(x1?x2)?alnx1?0 x2

构造函数m(t)?lnt?2(t?1),(0?t?1)， t?1求导由单调性易得m(t)?0在t?(0,1)恒成立， 又因为a?0,x1?x2?0，故f?(法三：接④后续解：

x1?x2)?0成立. 22(x?x2)4x2(x?x2)21视x1为主元，设g(x)?lnx?lnx2?,g?(x)????0 22x?x2x(x?x2)(x?x2)则g(x)在x?(0,x2)上单调递增，故g(x)?g(x2)?0，

x1?x2)?0成立. 2aaa法四：构造函数h(x)?f(?x)?f(?x),(0?x?)，

222再结合a?0,x1?x2?0，故f?(

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