高中数学必修五全套教案(4)

●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点

等比数列的前n项和公式推导 ●教学难点

灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]

[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

1、 等比数列的前n项和公式：

a?anqa1(1?qn) 当q?1时，Sn? ① 或Sn?1 ②

1?q1?q当q=1时，Sn?na1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是

Sn?a1?a2?a3??an

由??Sn?a1?a2?a3??an?an?a1qn?1

2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q??a1q?a1q得? 23n?1n??qSn?a1q?a1q?a1q??a1q?a1q?(1?q)Sn?a1?a1qn

a?anqa1(1?qn)∴当q?1时，Sn? ① 或Sn?1 ②

1?q1?q当q=1时，Sn?na1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

aa2a3????n?q a1a2an?1a2?a3???anS?a1?n?q

a1?a2???an?1Sn?an根据等比的性质，有

即

Sn?a1?q?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上）

Sn?an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1) ＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上）

[解决问题]

有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。 由a1?1,q?2,n?64可得

a1(1?qn)1?(1?264)64==2?1。 Sn?1?21?q264?1这个数很大，超过了1.84?1019。国王不能实现他的诺言。

[例题讲解]

课本P56-57的例1、例2 例3解略 Ⅲ.课堂练习

课本P58的练习1、2、3 Ⅳ.课时小结

等比数列求和公式：当q=1时，Sn?na1 当q?1时，Sn?a1?anq 或

1?qa1(1?qn) Sn?1?qⅤ.课后作业

课本P61习题A组的第1、2题

（第10课时） 课题: §2.5等比数列的前

●教学目标

知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力

过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 ●教学难点

灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式：

n项和

??

由此归纳等差数列的通项公式可得：an?a1?(n?1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。 由上述关系还可得：am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d

则：an?a1?(n?1)d=am?(m?1)d?(n?1)d?am?(n?m)d 即等差数列的第二通项公式 an?am?(n?m)d ∴ d=[范例讲解]

例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13?的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3 n=20，得a20?8?(20?1)?(?3)??49 ⑵由a1??5,d??9?(?5)??4 得数列通项公式为：an??5?4(n?1) 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4(n?1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例3 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时, （取数列?an?中的任意相邻两项an?1与an（n≥2））

am?an

m?nan?an?1?(pn?q)?[p(n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q)?p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为p。

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数

y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q (p、q是常数)，称其为第3

通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

Ⅲ.课堂练习

课本P39练习1、2、3、4 [补充练习]

1.（1）求等差数列3，7，11，??的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知：（n－1）×4,即an=4na1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列10，8，6，??的第20项. 解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：（n－1）×（－2）,即：an=10+an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.

评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，??的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.

解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.

令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项. （4）－20是不是等差数列0，－3说明理由.

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