【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯(4)

【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯西不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5

小中高 精品 教案 试卷

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2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 2

2－b

≥2. 证明：根据柯西不等式，有 [(2－a )＋(2－b )]? ??

??a 22－a ＋b 2

2－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]??????? ????a 2－a 2＋? ????b 2－b 2 ≥?

????2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2

＝(a ＋b )2＝4.

∴a 22

－a ＋b 2

2－b ≥4（2－a ）＋（2－b ）＝2. ∴原不等式成立.

若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2

的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得

(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，

25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425

. 当且仅当x 3＝y

4

时等号成立， 由?????3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4.得?????x ＝625，y ＝825

. 因此，当x ＝625，y ＝825时， x 2＋y 2取得最小值，最小值为4

25

.

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