【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯(3)

【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯西不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5

小中高 精品 教案 试卷

制作不易 推荐下载 3 1．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：

a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32＋a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 33＋

a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥2(a 31＋a 3

2＋a 33)． 证明：因为a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32＝(a 1＋a 2)·(a 21＋a 2

2)，

由柯西不等式得 [(a 1)2＋(a 2)2](a 21＋a 22)≥(a 1a 1＋a 2a 2)2，

于是a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥(a 31＋a 32)2. 故a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥a 31＋a 32， 同理a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 33≥a 32＋a 33，

a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥a 3

3＋a 31. 将以上三个同向不等式相加，即得

a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32＋a 3

2＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 23＋

a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥2(a 31＋a 3

2＋a 33)．

设a ，b ，c ，d 是4个不全为零的实数，求证：

ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d 2≤ 2＋12

. [精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需

要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件． ab ＋2bc ＋cd ＝(ab ＋cd )＋(bc －ad )＋(bc ＋ad )

≤2[（ab ＋cd ）2＋（bc －ad ）2]＋（b 2＋a 2）（c 2＋d 2） ＝2·（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）＋（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）

≤2·（a 2＋c 2）＋（b 2＋d 2）2＋（a 2＋b 2）＋（c 2＋d 2）2

＝2＋12(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)．∴ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d 2≤2＋12

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————————————— 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．

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