【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯(2)

【新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第1节二维形式的柯西不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5

小中高 精品 教案 试卷

制作不易 推荐下载 2 提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d 不成立．

2．不等式x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

(x 1，x 2，y 1，y 2∈R )中，等号成立的条件是什么？

提示：当且仅当P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，O (0，0)三点共线，

且P 1，P 2在原点两旁时，等号成立.2·a 2＋c 2≥a ＋c ，

设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )．

[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a 2＋b 2·12＋12

≥a ＋b ， 即2·a 2＋b 2≥a ＋b ， 同理：2·b 2＋c 2≥b ＋c ，2·a 2＋c 2≥a ＋c ，

将上面三个同向不等式相加得： 2(a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2)≥2(a ＋b ＋c )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥2·(a ＋b ＋c )． —————————————————— 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：

(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中a ，b ，c ，d ∈R 或(a ＋b )·(c ＋d )≥(ac ＋bd )2

，其中a ，b ，c ，d ∈R ＋.

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