经典求极限方法(6)

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10

12 1

dx ln

222 1 x

1

111

例17：极限lim 2n n2 2n2 n n 1

1 1 2 n

【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim f f f n n nn n

的形式，因而用两边夹法则求解；

(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

111

【解】lim 2n n2 2n2 n n 1

因为

nn n

2

n

1n 1

2

1n 2nn 1

22

1n n

2

nn 1

2

又 lim

n

n n

2

lim

n

1

＝１

所以 lim

111

2n n2 2n2 n n 1

12．单调有界数列的极限问题

例18：设数列 xn 满足0 x1 ,xn 1 sinxn(n 1,2, )

（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

1

xn 1 xn（Ⅱ）计算lim . n

xn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.

【详解】 （Ⅰ）因为0 x1 ，则0 x2 sinx1 1 . 可推得 0 xn 1 sinxn 1 ,n 1,2, ，则数列 xn 有界. 于是

xn 1sinxn

sinx x） 1，（因当x 0时，， 则有xn 1 xn，可见数列 xn 单

xnxn

n

调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.

imxn 0. 设limxn l，在xn 1 s得 l sinl，解得l 0，即linxn两边令n ，

n

n

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