经典求极限方法(2)

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lim

x 0

tanx sinx1tanx sinx1

lim 33x 0x 024xx tanx sinx

lim

1

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键

4．应用两个重要极限求极限

sinx11

1和lim(1 )x lim(1 )n lim(1 x)x e，第两个重要极限是lim

x 0x n x 0xxn

1

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x 1

例5：求极限lim

x x 1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑 数部分。

x 11 2 2 1 2 2 x 1 2 【解】lim lim 1 lim 1 x 1 1 e x x 1x x x 1 x 1

x

x

2

x

1

，最后凑指X

1 x 2a

例6：(1)lim 1 2 ；(2)已知lim 8，求a。

x x

x x a 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1 x)~e 1, 当x 0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12b

x, 1 ax 1~abx； 2

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．

1 cosx~

x

xx

(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．

xln(1 x)

x 01 cosxxln(1 x)x x

【解】 lim lim 2.

x 01 cosxx 02

x2

sinx x

例8：求极限lim

x 0tan3x

例7：求极限lim

2

1xsinx xsinx xcosx 11 lim lim lim 【解】lim 322x 0tan3xx 0x 0x 06x3x3x

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