经典求极限方法(3)

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6．用罗必塔法则求极限

lncos2x ln(1 sin2x)

例9：求极限lim

x 0x2

0

或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0

2sin2xsin2x

2lncos2x ln(1 sin2x) 【解】lim lim2x 0x 0x2x

【说明】

lim

sin2x 21

3 x 02x cos2x1 sin2x

【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例10：设函数f(x)连续，且f(0) 0，求极限lim

x 0

x

(x t)f(t)dt

x0

.

x f(x t)dt

【解】 由于

x

f(x t)dt

x t u0

x

f(u)( du) f(u)du,于是

x

x

x

lim

x 0

x

(x t)f(t)dt

x0

x f(x t)dt

x

lim

x 0

x f(t)dt tf(t)dt

x f(u)du

0x

=lim

x 0

f(t)dt xf(x) xf(x)

x

=lim

x 0

x0

x

f(t)dt

f(u)du xf(x)

x

f(u)du xf(x)

=lim

x 0

f(t)dt

x f(x)

=

x

f(u)du

f(0)1

.

f(0) f(0)2

7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

2x

例11：极限lim[1 ln(1 x)]

x 0

2x

2

ln[1 ln(1 x)]x

【解】 lim[1 ln(1 x)]=lime

x 0

x 0

=e

x 0

lim

2ln[1 ln(1 x)]

x

e

x 0

lim

2ln(1 x)

x

e2.

【注】对于1 型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1 )=elim(f(x) 1)g(x)

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