人教版-高中数学选修4-5 数学归纳法证明不等式(8)

适应于教师教学,学生自学

为利用归纳假设, 我们把乘积a1a2看作一个数, 这样就得到k个正数 a1a2 , a3,, ak , ak+1的乘积是 由归纳假设可以得到 1, a1a2 + a3 ++ ak + ak+1 ≥ k

∴a3 + a4 ++ ak + ak+1 ≥ k a1a2∴a1 + a2 ++ ak + ak+1 (k +1) ≥ a1 + a2 + k a1a2 k 1 = a1 + a2 a1a2 1 = (a1 1)(a2 1)∵a1 >1, a2 <1,∴(a1 1)(a2 1) > 0 ∴a1 + a2 ++ ak + ak+1 k 1 > 0,即 a1 + a2 ++ ak + ak+1 > k +1∴当n = k +1 时命题成立

由 (1)(2)可知 对一切正整数n,如果n个正数a1, a2 ,, an的 , 乘积a1a2 an =1, 那么它们的和a1 + a2 ++ an ≥ n成立 .

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