2012考研数学一真题及答案(9)

(23)解：

（1）因为2(,)X N u σ，2(,2)Y N u σ，且X 与Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y

σ=-

所以Z

的概率密度为2226(,)()z f z z σσ-=-∞<<∞ （2）最大似然函数为

2222611()(;)),(1,2,,)i

z n n i i i i L f z z i n σσσ-===∏=∏-∞<<∞=

两边取对数，得

222211ln ()[ln ]26n

i i Z L σσσ==--∑ 两边求导得

222222222211

ln ()11[][3]()26()6()n n i i i i Z d L n Z d σσσσσσ===-+=-+∑∑ 令22ln ()0()d L d σσ=，得221

13n i i Z n σ==∑ 所以2σ的最大似然估计量2

21

13n i i Z n σ==∑ （3）证明：22222111111()()[()(())]3333n n n i i i i i i E E Z D Z E Z n n n σσσ=====+==∑∑∑ 所以2σ为2σ的无偏估计量

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