2012考研数学一真题及答案(4)

（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -. (23)

设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N u σ与2(,2)N u σ，其中σ是未知参数且0σ>。设

.Z X Y =-

(1)求Z 的概率密度2(,);f z σ （2）设12,,

,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ

（3）证明2σ为2σ的无偏估计量

数一参考答案

一、选择题

二、填空题 9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12； 13、2； 14、3

4

三、解答题 (15)

证明：令()2

1ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数

()212ln

sin 11x x f x x x x x +'=+----

()00

f '=

()()()

222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244

cos 12011x x x =--≥->-- 所以

()()00f x f ≥=

即证得：()2

1ln cos 11112

x x x x x x ++≥+-<<-

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