2012考研数学一真题及答案(8)

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022021020

22(2)22(2)122(2)(6)022*******E B λλλλλλλλλλλλλλ------=--=----=----=--=-------所以B 的特征值为1230,2,6λλλ===

对于10λ=，解1()0E B X λ-=得对应的特征向量为1(1,1,1)T α=- 对于22λ=，解2()0E B X λ-=得对应的特征向量为2(1,1,0)T α=- 对于36λ=，解3()0E B X λ-=得对应的特征向量为3(1,1,2)T α= 将123,,ααα单位化可得

1211111,1,1102ηηη?????????=-=??????-???

正交矩阵0Q ? = ?，则026T Q AQ ?? ?= ? ??? 因此，作正交变换x Qy =，二次型的标准形为2223()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+

（Ⅰ）{}{}{}1120,02,1044

P X Y P X Y P X Y ====+===

+= （Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=- cov(,)X Y EXY EXEY =-，其中2225,1,1,,33

EX EX EY EY ==== 2245()199

DX EX EX =-=-= 2252()133DY EY EY =-=-=，23

EXY = 所以，22cov(,)0,cov(,),cov(,),033XY X Y Y Y DY X Y Y ρ===-=-=

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