2012考研数学一真题及答案(7)

（I ）

414

1001000010=101(1)1010010010100

1a a a a A a a a a a a a

+??

???????????

?=?+?-=-??????

????????????

(II) 对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换：

2

3

2100

110011

001

010101010101001000

100

1

000100010

01a a

a a a a a a a a a a a a a ??????

??????---???

??

?→→??????

???

??

?

----??????

4

21001

0101001

00

001a a a

a a a ????-??→??

??---?? 可知，要使方程组Ax β=有无穷多解，则有410a -=且20a a --=，可知1a =-

此时，方程组Ax β=的增广矩阵变为11001011010011000000-????--?

???

-??

??，进一步化为最简形得1001

001

0110011000000-??

??--????

-??

??

可知导出组的基础解系为1111?? ? ? ? ???，非齐次方程的特解为0100?? ?- ? ? ???，故其通解为10111010k ????

? ?- ? ?+ ? ? ? ?????

(21)解：

（1）

由二次型的秩为2，知()2T

r A A =，故()()2T

r A r A A == 对矩阵A 初等变换得

1011

011

011

01011011011011100

010

010

010*********a a a a a a a ???????????????????

??

??

?→→→????????

-+++?????

??

?

----????????

因()2r A =，所以1a =-

（2）令202022224T B A A ??

?== ? ???

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