2012考研数学一真题及答案(3)

(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为

(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()

11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) 证明2

1ln cos 1(11)12

x x x x x x ++≥+-<<- (16) 求函数222(,)x y f x y xe

+-=的极值 (17) 求幂级数22044321n n n n x n ∞=+++∑

的收敛域及和函数 (18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y t

π=?≤<?=?其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

(19) 已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d L

J x y x x x y y =++-? (20)(本题满分 分)

设10010101,00100010a a A a a β???? ???- ???== ??? ???????

（I ）计算行列式;A

(II)当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解。

(21)

已知1010111001A a a ??????=??-??-??

，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2 （1）求实数a 的值；

（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准型.

（22）

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