2010年数学之家数学竞赛讲义(7)

x2x2(sin2x+cos2x)+xsinxcosx xsinxcosx解法2∫(xsinx+cosx)2dx=∫(xsinx+cosx)2xsinx(xsinx+cosx)+xcosx(xcosx sinx)=∫(xsinx+cosx)2

xsinxxcosx sinx=∫dx+∫(xsinx+cosx)xsinx+cosx(xsinx+cosx)2

xsinx1=∫dx+∫(xcosx sinx)d( xsinx+cosxxsinx+cosxxsinxxcosx sinxxsinx=∫dx ∫dxxsinx+cosxxsinx+cosxxsinx+cosxsinx xcosx=+cxsinx+cosx

1x+x例8：求（1+x edx1x221

解：1e

22x+1x1x+1dx+1(x exdxx22

2=1e

22x+1x1x+1dx+1x(1 2)exx2

=1e

22x+1xdx+1xd(e22x+1x)=1e22x+1xdx+xex+1x212| 1e22x+1xdx

3=e2

25

2例9：11 2x x)e（

2

22x+1xdx111x+2x+2x+112解：=1x( x 2）exdx= 1x(1 2)exdx 21xexdxxx222= 1xde2

22x+1x 21xe22x+1xdx= xe2x+1x|+21xe21222x+1xdx 21xe22x+1xdx= x2ex+1

x2

1

2155|= e24

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