2010年数学之家数学竞赛讲义

2010年数学之家数学竞赛讲义

1x12 x10+x6+x4 1+x 2

例1：已知x<0,且x =5,1210xx x+x8+x2 1+x 2

1若由已知条件x =,求出x的值，再代入原式，虽然可以求出解x

但运算量太大，可运用一下技巧，将已知代数式的分子、分母除以x5,得

x7+x 7 (x5+x 5)+x+x 1

，7 75 53 3x+x (x+x)+x+x

解：根据上面分析，我们设an=xn+x n(n∈N*),由题意知a1=x+x 1= 3

a2=x2+x 2=7,∵an+2=(x+x 1)an+1 an∴a3= 3a2 a1= 18,a4= 3a3 a2=47,a5= 123,a6=322,a7= 843,

∴原式=a7 a5+a1 843+123 3241==a7 a5+a3 843+123 18269

推广：an=Axn+Byn+Czn,(n∈N*),则an+3=(x+y+z)an+2 (xy+yz+xz)an+1+xyzan证明:易得。

例：已知x+y+z=1,x2+y2+z2=2,x3+y3+z3=3,求x5+y5+z5的值。

解：an=xn+yn+zn,则a1=1,a2=2,a3=3.现在我们只需要求xy+yz+xz和xyz的值即可

11因为xy+yz+xz=[(x+y+z)2 (x2+y2+z2)]=.,22

1x3+y3+z3 3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2 xy yz xz) xyz=.6

111125∴an+3=an+2+an+1+an, a4=a3+a2+a1=,26266

112511a5=a4+a3+a2=+×3+×2=6,26626

∴x5+y5+z5=6.

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