2010年数学之家数学竞赛讲义(3)

例2：在 ABC当中，若∠A:∠B:∠C=4:2:1.且对应的三边a,b,c为正整数且

满足（a,b,c)=1，试证明：a+b,a c,b c都是完全平方数。

111证明：先引理1：在 ABC当中，若∠A:∠B:∠C=1:2:4，那么有：+=.ABACBC

引理2：设a1,a2,……an,b1,b2……bn均为正整数，且（a1,a2,……an)=

aaa(b1,b2,b3……，bn)=1,(n≥2),1=2=……=n

.则a1=b1,a2=b2,……,an=bnb1b2bn111AC+ABAB+= =.分析如图：在BA和延长线上ABACBCACBC

截取AD=AC.则BD=AC+AB,于是上面等价BD:AC=AB:BC,故要证明此比例需要在图形中构造相似三角形，为此，在BC的延长线上取一点E,使得AE=AC,连接DE,易知BE=AE=AC,则转化为BD:BE=AB:BC，根据已知条件，容易得到。

qbi,i=1,2,3……，n.则pai=qbi,p

∴(pa1,pa2,……，pan)=p(a1,a2,……，an)=p,引理2的证明：令ai=

(qb1,qb2,……，qbn)=q(b1,b2,……bn)=q,∵(pa1,pa2,……，pan)=

(qb1,qb2,……，qbn) p=q. ai=bi

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