2010年数学之家数学竞赛讲义(5)

但由于a=x1<204,由此得b=0,a=x1=1,下面来计算前面几项x1=1,

112123

2x2=(+1) +1=2,x3=(+×2 +1=3,x4=420042004200422004

故用数学归纳法得xn=n

k12k3

n=1,2,3,4显然成立，假设xk=k成立，那么xk+1=(+k +1=k+12004k2004所以对所有的正整数n，都有xn=n成立。

∞∞8xn8n8n∴∑arctan4=arctan=arctan∑∑2n4 2n2+5n=14+(n2 1)2xn 2xn+5n=1n=1

n+12n 12( (22∞2[(n+1) (n 1)]∞2=∑arctan=∑arctan22224+(n+1)(n 1)n=1n=11+((22

Nn+12n 12N+12N2=lim∑[arctan() arctan(]=lim[arctan(+arctan(N→∞N→∞2222n=1

11 arctan0 arctan]=π arctan22∞

例5：设p是一个素数，p≡4(mod4),设x,y是整数，满足p|x2 xy+求证：存在整数u,v，使得x2 xy+p+12y.4p+12p+12y=p(u2 uv+v).44

证明：由条件可知p|(2x y)2+py2,则p|(2x y)2.因为p是素数，则有p|2x y

p+1211设pk=2x y,则x2 xy+y=(py2+（2x-y)2)=((2x pk)2p+p2k2)=444

ppp((2x pk)2+pk2)=((2x pk+k k)2+pk2)=((2u v)2+pv2)444

pp+12=(4u2 4uv+(p+1)v2)=p(u2 uv+v).44

例6：设D是 ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过D作一直线分别

与线段AB,PB交于点M,E,与线段AC，PC的延长线交于点F,N，已知DE=DF.求证：DM=DN

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