2010年数学之家数学竞赛讲义(4)

111a+b1+= =abcabc

aa+baa+bp =,故必存在正整数p,q，（p,q)=1,p>q.使==.cbcbq

ppabc∴a=c,b=c, a:b:c=p(p q):pq:q(p q),即==qp qp(p q)pqq(p q）又（p(p q),pq,q(p q))=((p(p q),q(p q)),pq)=(p q,pq)=(p q,p)(p q,q)回到原题：∵∠A:∠B:∠C=4:2:1, (∵(p,q)=1)=(p,q)2=1，再由(a,b,c)=1,则a=p(p q),b=pq,c=q(p q).

∴a+b=pq+p(p q)=p2,a c=p(p q) q(p q)=(p q)2,b c=pq q(p q)=q2即a+b,a c,b c都为完全平方数。

例3:方程（x2010+1)(1+x2+x4+……+x2008)=2010x2009所有实数根为——

1解：显然x≠0∴（x+2009)(1+x2+x4+……+x2008)=2010x

111 x+x3+x5+……+x2009+2009+2007+……+=2010xxx

111∵x+x3+x5+……+x2009+2009+2007+……+≥2010(x>0)xxx

∴仅当x=1等号皆成立.且易知x<0不满足方程，故原方程的实数根为x=1例4：非负整数数列{xn}定义为：x1是小于204的非负整数，且有

∞n12n38xnxn+1=(+)xn +1（,n>0).求∑arctan42004n2004(xn) 2xn+5n=1

11a 1证明：如果x1=a,则x2=(+1)a2 +1=a2+1+200420042004

因为数列的所有项都是整数，所以x2也是整数，所有a2 1一定是能被

2004=22×3×167整除。又因为a2 1能被4整除，所以a一定是奇数

设a=2b+1， a2 1=2b(2b+2)=4b(b+1),易知b(b+1)一定能被167整除

如果b>0，这就意味着b或b+1能被167整除，且b≥167,因此a≥2×167+1=3352

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