2012-2013学年上海市华师大松江实验中学八年级（下）期中数学试(4)

【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1）得， 4+2（x﹣1）=x（x+1）， 化简得，x2﹣x﹣2=0， 解得，x1=﹣1，x2=2， 经检验x1=﹣1是增根， 所以原方程的解是x=2．

【点评】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．

22．（6分）（2013春?松江区校级期中）解方程：

．

【分析】先利用平方法把原方程变形为x2+x﹣6=0，再解此方程得x1=﹣3，x2=2，然后进行检验确定原方程的解． 【解答】解：两边平方得6﹣x=x2， 整理得x2+x﹣6=0， 所以（x+3）（x﹣2）=0， 解得x1=﹣3，x2=2．

经检验：x=﹣3是增根，x=2是原方程的根． 所以原方程的根是x=2．

【点评】本题考查了无理方程：先利用平方或换元把无理方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入无理方程进行检验确定无理方程的解．

23．（6分）（2013春?松江区校级期中）解方程：

．

【分析】设x2+3x=y，方程化为关于y的方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，即为x2+3x，进而求出x的值，代入检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：令x2+3x=y，方程化为y﹣8=

，

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去分母得：y2﹣8y﹣20=0，即（y﹣10）（yx+2）=0， 解得：y=10或y=﹣2， ∴x2+3x=10或x2+3x=﹣2，

解得x1=﹣5，x2=2，x3=﹣1，x4=﹣2，

经检验：x1=﹣5，x2=2，x3=﹣1，x4=﹣2都是原方程的根． 则原方程的根是x1=﹣5，x2=2，x3=﹣1，x4=﹣2．

【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

24．（6分）（2016?黄浦区三模）解方程组：

．

【分析】首先对方程（1）进行因式分解，经分析得：2x+y=0或2x﹣y=0，然后与方程（2）重新组合成两个方程组，解这两个方程组即可． 【解答】解：由方程①，得2x+y=0或2x﹣y=0．（2分） 将它们与方程②分别组成方程组，得 （Ⅰ）

或（Ⅱ）

（2分）

方程组（Ⅰ），无实数解；（1分） 解方程组（Ⅱ），得

，

（2分）

所以，原方程组的解是，．（1分）

【点评】本题主要考查解二元二次方程组，关键在于正确的对原方程的两个方程进行因式分解．

四、简答题（24题6分，25、26题每题8分，28题10分） 25．（6分）（2016秋?安庆期中）已知直线L于直线3），求直线L与两坐标轴围成的三角形面积．

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平行，且过点（4，

【分析】根据平行直线的解析式的k值相等设直线L的解析式为y=﹣x+b，把点（4，3）的坐标代入求出b的值，再求出直线L与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：设直线L的解析式为y=﹣x+b， ∵直线L经过点（4，3）， ∴﹣×4+b=3， 解得b=6， ∴y=﹣x+6，

令y=0，则﹣x+6=0，解得x=8， 令x=0，则y=6，

∴与x轴交点坐标为（8，0），与y轴交点坐标为（0，6）， 直线L与两坐标轴围成的三角形面积：S=×8×6=24．

【点评】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k值相等设出直线L的解析式是解题的关键．

26．（8分）（2010?通化）某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队？应付工程队费用多少元？

【分析】应求出甲乙工程队的工效．时间明显，应根据工作总量来列等量关系．关键描述语是：甲、乙两队合作完成工程需要20天．等量关系为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1，然后分情况分析后比较所需费用． 【解答】解：设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要2x天， 根据题意得解得x=30

经检验，x=30是原方程的解，且x=30，2x=60都符合题意．

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，

∴应付甲队30×1000=30000（元）． 应付乙队30×2×550=33000（元）．

∵30000＜33000，所以公司应选择甲工程队．

答：公司应选择甲工程队，应付工程总费用30000元．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．

27．（8分）（2010?徐汇区模拟）如图，点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形． 求证：OE与AD互相平分．

【分析】连接AE，根据平行四边形OCDE的对边平行且相等，得DE∥OC，DE=OC；再根据平行四边形ABCD的对角线互相平分得AO=OC，即DE∥OA，DE=OA，所以四边形ODEA是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得证OE与AD互相平分．

【解答】证明：连接AE，如图． ∵四边形OCDE是平行四边形， ∴DE∥OC，DE=OC

∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴AO=OC． ∴DE∥OA，DE=OA

∴四边形ODEA是平行四边形， ∴OE与AD互相平分．

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【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

28．（10分）（2011秋?江西期中）△ABC是等边三角形，点D是BC上的一个动点（点D不与点B、C．重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，连接BE．

（1）如图a所示，当点D在线段BC上时 ①求证：△AEB≌△ADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图b所示，当点D在BC的延长线上时，判断（1）中的两个结论是否成立？

【分析】（1）①利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AEB≌△ADC；②四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，进而证明∠ABE=∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；

（2）当点D在BC的延长线上时，（1）中的两个结论仍就成立，证明思路同（1）． 【解答】证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

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