线性代数 吴赣昌 教案--第五章-二次型(2)

《线性代数》教案

任课教师 授课时间 授课题目 （章节） 教学目的、要求（教学目标） 教学重点 与难点 教学方式、方法与手段 内容导入 若二次型f(x1,x2,?,xn)经可逆线性变换x?Cy化为只含平方项的形式 22b1y12?b2y2???bnyn, 授课班级 教学时间安排 1 2学时 第二节 化二次型为标准形 ⑴ 了解二次型与对称矩阵的规范形 ⑵ 掌握化二次型为标准形的三种方法 化二次型为标准形的三种方法 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合 理论讲解45分钟，习题选讲40分钟，练习、答疑5分钟 则称之为二次型f(x1,x2,?,xn)的标准形. 由第4章实对称矩阵的对角化方法可知,可取C为正交 提问：任意一个实二次型XTAX是T教学基本内容 变换矩阵，则二次型f(x1,x2,?,xn)?XAX在线性变换否都可经过一个满及过程 X?CY下,可化为YT(CTAC)Y. 如果CTAC为对角矩阵 秩线性变换化为标准型？ ?b1???b2? B???????bn??22则f(x1,x2,?,xn)就可化为标准形b1y12?b2y2???bnyn,其 标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵. 内容要点 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是aij?0(i?j),则先作可逆变换 提问：任意一个实对称矩阵A是否都合同于一个对角矩阵？ ?xi?yi?yj??xj?yi?yj??xk?yk(k?1,2,?,n且k?i,j) 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A的特征值无关. 因为二次型f与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使B?CTAC 为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为X?CY，它把二次型XTAX化为标准型YTBY，则 CTAC?B. 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵P1,P2,?,Ps，使 C?P1P2?Ps, 于是C?EP1P2?Ps TCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps??. ?A?由此可见, 对2n?n矩阵?1P2?Ps的初?E??施以相应于右乘P??TTT等列变换, 再对A施以相应于左乘P1,P2,?,Ps的初等行变换, 则矩阵A变为对角矩阵B, 而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C. 三、用正交变换化二次型为标准形 定理3 若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令B?CTAC,,则B也为对称矩阵,且r(B)?r(A). 注: (1) 二次型经可逆变换X?CY后,其秩不变,但f的矩阵由A变为B?CTAC; (2) 要使二次型f经可逆变换X?CY变成标准形,即要使CTAC成为对角矩阵, 即 YTCTACY?(y1,y2,?b1?b2,yn)??????y1??????y2? ??????bn??yn? 2?b1y12?b2y2?2?bnyn. n定理4 任给二次型f??aijxixj(aji?aij), 总有正交 i,j?1变换X?PY, 使f化为标准形 22f??1y12??2y2????nyn, 其中?1,?2,?,?n是f的矩阵A?(aij)的特征值. 用正交变换化二次型为标准形 (1) 将二次型表成矩阵形式f?XTAX, 求出A; (2) 求出A的所有特征值 ?1,?2,?,?n; (3) 求出对应于特征值的特征向量 ?1,?2,?,?n; (4) 将特征向量?1,?2,?,?n正交化, 单位化, 得?1,?2,?,?n, 记C?(?1,?2,?,?n); (5) 作正交变换X?CY,则得f的标准形 22f??1y12??2y2????nyn. 四、二次型与对称矩阵的规范型 将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为 22d1x12???dpx2p?dp?1xp?1???drxr(1) 其中di?0(i?1,2,?,r). 定理5 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关. 注: 把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数r?p称为二次型的负惯性指数, r是二次型的秩. 注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形 ?Ep??0?0?0?Er?p00??0? 0??定理5 设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵C,Q，且C?Q,使得 ?Ep?CTAC??0?0?0?Er?p00??Ep??0?，QTAQ??0?00???0?Er?q00??0? 0??则 p?q. 注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。 例题选讲 用配方法化二次型为标准形 222例1将x1化为标准?2x1x2?2x1x3?2x2?4x2x3?x3形. 例2 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3成标准形, 并求所用的变换矩阵. 用初等变换化二次为标准型 例3 求一可逆线性变换将 22x12?2x2?x3?2x1x2?2x1x3?4x2x3 化为标准型. 例4求一可逆线性变换化2x1x2?2x1x3?4x2x3为标准形. 用正交变换化二次型为标准形 例5 将二次型 22f?17x12?14x2?14x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3通过正交变换x?PY, 化成标准形. 二次型与对称矩阵的规范型 例6 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为规范形, 并求其正惯性指数. 1. 求一正交变换,将二次型 作业与 课外训练 22f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3 化为标准型, 并指出f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面. P149 1⑵ 3⑴ 4

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