线性代数 吴赣昌 教案--第五章-二次型

学年度第 学期

线性代数 课堂教学方案

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《线性代数》教案

任课教师 授课时间 授课题目 （章节） 授课班级 教学时间安排 1 1学时 第五章 二次型 第一节二次型及其矩阵 ⑴ 了解二次型的概念 教学目的、要求（教学目标） 教学重点 与难点 教学方式、方法与手段 ⑵ 掌握二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质 ⑶ 熟练掌握求二次型秩的方法 二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，求二次型秩的方法 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合 问题导入：在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2?bxy?cy2?1 理论讲解30分钟，习题选讲10分钟，5分钟 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 练习、答疑 ?x?x?cos??y?sin? ???y?xsin??ycos?? 提问：n元二次型是如何定义的？ 把方程化为标准形式 教学基本内容 及过程 mx?2?cy?2?1. 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n个变量的二次多项式的化简问题. 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次函数 222f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn ?2a12x1x2???2a1nx1xn?2a23x2x3???2a2nx2xn???2an?1,nxn?1xn 提问：二次型的秩称为二次型. 当aij为复数时，f称为复二次型；当aij为实数时，f称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 二、二次型的矩阵 取aji?aij,则2aijxixj?aijxixj?ajixjxi,于是 2f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a12x1x2???a1nx1xn2?a21x2x1?a22x2???a2nx2xn是怎样定义的？ ?????????2?an1xnx1?an2xnx2???annxnn ?i,j?1?aijxixj?x1(a11x1?a12x2???a1nxn)?x2(a21x1?a22x2???a2nxn)???????????xn(an1x1?an2x2???annxn) ?a11x1?a12x2???a1nxn???ax?ax???ax?2nn??(x1,x2,?,xn)?211222???????????ax?ax???ax?nnn??n11n22?a11a12?a22?a ?(x1,x2,?,xn)?21????a?n1an2?XTAX.?x1????x2?其中 X???,????x??n??a11??aA??21???a?n1a12a22?an2?a1n???a2n?. ?????ann???a1n??x1?????a2n??x2? ????????????ann???xn? 称f(x)?XTAX为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵.二次型f称为实对称矩阵A的二次型. 实对称矩阵A的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f与其实对称矩阵A之间有一一对应关系. 三、线性变换 定义2 关系式 ?x1?c11y1?c12y???c1nyn??x2?c21y1?c22y???c2nyn ? ??????????????xn?cn1y1?cn2y???cnnyn 称为由变量x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn的线性变换. 矩阵 ?c11c12??c21c22 C??????c?n1cn2????c1n??c2n? ???cnn?? 称为线性变换矩阵. 当|C|?0时，称该线性变换为可逆线性变换. 对于一般二次型f(X)?XTAX,我们的问题是：寻求可逆的线性变换X?CY将二次型化为标准型，将其代入得 f(X)?XAX?(CY)TA(CY)?YT(CTAC)Y 这里，YT(CTAC)Y为关于y1,y2,?,yn的二次型，对应的矩阵为CAC. 四、矩阵的合同 定义3 设A,B为两个n阶方矩阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得CTAC?B,则称矩阵A合同于矩阵B,或A与B合同,记为A?B. 易见, 二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX的矩阵A与经过非退化线性变换X?CY得到的二次型的矩阵B?CAC是合同的. 矩阵的合同关系基本性质: TTT 注: 若??0, 则?与任何向量都正交. (1) 反身性 对任意方阵A, A?A;(因为ETAE?A); (2) 对称性 若A?B,则B?A; (3) 传递性 若A?B,B?C,则A?C. 例题选讲 例1 二次型x1x2?x1x3?2x?3x2x3的矩阵是 22 1/21/2??0??A??1/22?3/2?; ?1/2?3/20???1/21/2??0??2?3/2?所对应的二次型是 反之, 对称矩阵A??1/2?1/2?3/20??? 1/21/2??x1??0????xTAx?(x1,x2,x3)?1/22?3/2??x2? ?1/2?3/2?0?????x3?2?x1x2?x1x3?2x2?3x2x3. 例2 求二次型 22的秩. f(x1,x2,x3)?x12?4x1x2?2x1x3?2x2?6x3作业与 课外训练 P142 3 1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，课外阅读 资料或自主学习体系安排 1995 2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009 3. http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数 本节学习了二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，学习了求二次课后小结 型秩的方法。课后加强二次型秩的计算

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