F y f2=ky dy fs y L dy y f2 dy O 解：(1) 求常数k。桩周微段dy上的摩擦力 dFs?fsdy?kydy 整条桩的摩擦力为
Fs?dFs?由平衡条件可知
??L0kL2kydy?
2kL2 F?Fs?
2即 k?2F L2y (2) 确定桩的总压缩量。由图可知，桩任意截面上的轴力为 FN(y)?其中，微段dy的压缩量为 d(?L)?所以桩的总压缩量为 ?L??0ky2ykydy??()2F
2LFN(y)dy EA?L0d(?L)??L0LFN(y)dyFFL2??ydy? 20EA3EAEAL 讨论 应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都
应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。在解本题中，就应用了这种方法。另外，由于杆上的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。
五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的内力。
h C A C`a FAy A FN1 a FN2 B F
解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。
(1)静力方面 取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2。欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即
?MA?0,D D` B F
a FAx FN1?a?FN2?2a?F?3a?0 (1)
(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C`和D`点。设杆EC的伸长为CC`=Δ1，FD的伸长为DD`=Δ2，由图可知，它们有几何关系：
?11? (2) ?22这就是变形谐调方程或变形条件。 (3)物理方程 根据胡克定律，有 ?1?这是物理方程。
将式(3)代入式(2)，得
2FN1hFh,?2?N2 (3)
E1A1E2A2FN1FN2 (4) ?EA1EA2将方程(4)和方程(1)联立求解，即得
FN1?
3E1A1FE1A1?4E2A26E1A1FE1A1?4E2A2
FN2?结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。
2.3 练习题
一、概念题
1、选择题
(1)现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( )
A 1杆为钢，2杆为铸铁 B 1杆为铸铁，2杆为钢 C 2杆均为钢 D 2杆均为铸铁
1 A 2 B
C
(2)桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图( )较为合理。
P
钢 P
铸铁 铸铁 （A） 钢 （B）
钢 铸铁 铸铁 (C)
P 钢 P (D)
(3)轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是( ) A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布
B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布 C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布 D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布
1 2 P P 1 2
(4)图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( ) A 平动 B 转动 C 不动
D 平动加转动
F
(5)有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图所示，曲线( )材料的弹性模量E大，曲线( )材料的强度高，曲线( )材料的塑性好。
ζ A B C ε
(6) 材料经过冷作硬化后，其( )。 A 弹性模量提高，塑性降低 B 弹性模量降低，塑性提高 C 比例极限提高，塑性提高 D 比例极限提高，塑性降低
2、是非判断题
二、计算题
1、图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。
D 3 C P3 2 P2 l2 l1 B A 1 P1
O l3
2、己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3
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