新编物理基础学课后习题答案(8)

3v 8L（2）设在离转轴距离为l得取一微元dl，则该微元所受的阻力为： df?kvdl?kl?dl

解上述两式得：?0?该微元所受的阻力对转轴的力矩为：

dMf?ldf?k?l2dl

则细棒所受到的总阻力矩为：

LL1Mf??dMf??k?l2dl?k?L3

003（3）由刚体定轴转动定律得，

d?1?k?L3 dt3d?13?kLdt 即上式可化为：?J?3Mf?J???J对上式两边分别积分得：?J解上式积分得：t?把J????020d????13kLdt 03t3Jln2 3kL12mln2mL代入上式得：t?

kL33-14两滑冰运动员，质量分别为MA?70kg，MB?80kg，它们的速率?A?7m?s?1,，

?B?8m?s?1在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两人最接近时，便拉起手来，开始绕质心

作圆周运动并保持两人间的距离1.5m不变。求：（1）系统总的角动量；（2）系统一起绕质心旋转的角速度；（3）两人拉手前后的总动能，这一过程中机械能是否守恒，为什么？ 分析：利用系统质心公式，两人组成系统前后角动量守恒和动能公式求解。 解：（1）设两人相距最近时以运动员A作原点，由质心公式得，两运动员的质心为：

x?MAxA?MBxB70?0?80?1.5??0.8m

MA?MB70?80两人组成的系统对质心的总的角动量为：

L?MAvAx?MBvB(1.5?x)?70?7?0.8?80?8?(1.5?0.8)?840kg?m2?s?1

（2）两人拉手过程中，所受力对质心转轴的力矩之和为零，则两人组成系统前后角动量守恒。

22?L?J???Mx?M(1.5?x)AB???即:840=(70?0.8+80?0.7)?解上式得：??10rad/s （3）两人拉手前的动能为：

22

36

EK0?111122MAvA?MBvB??70?72??80?82?4275J 2222两人拉手后的动能为：

EK?11J?2??(70?0.82?80?0.72)?102?4200J 22因此，系统前后的机械能不守恒。我们可以把两人拉手的过程看作完全非弹性碰撞，因此系统前后机械能不守恒。

3-15 如题图3-15所示，一长为2l、质量为M的匀质细棒，可绕棒中点的水平轴O在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的反弹速度v及棒转动的角速度?各为多少？

分析：以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任一状态分析受力，棒受的重力Mg和轴对棒的支撑力N对O轴的力矩均为零。小球虽受重力mg作用，但比起碰撞时小球与棒之间的碰撞力f、f'而言，可以忽略不计。又f、f'是内力，一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和小球组成的系统对O轴的合外力矩为零，则系统对O轴的角动量守恒。

解：取垂直纸面向里为角动量L正向，则系统初态角动量为mul，终态角动量为J?（小棒）和?mvl（小球），有角动量守恒定律得

mul?J??mvl ①

因为弹性碰撞，系统机械能守恒，可得

111mu2?mv2?J?2 ② 22211M(2l)2?Ml2 ③ 又J?123联立式①，②，③解得

题图3-15

M?3muM?3m

6mu??(M?3m)lv?3-16 一长为L、质量为m的匀质细棒，如题图3-16所示，可绕水平轴O在竖直面内旋转，若轴光滑，今使棒从水平位置自由下摆。求：（1）在水平位置和竖直位置棒的角加速度?；（2）棒转过?角时的角速度。

分析：由转动定律求角加速度，由在转动过程中机械能守恒求角速度。 解：（1）有刚体定轴转动定律M?J?得，

LM2?3g ?细棒在水平位置的角加速度为：??122LJmL3mg 37

题图3-16

细棒在竖直位置的角加速度为：??M0??0 12JmL3（2）细棒在转动的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得，

L1sin??J?222

12又J?mL3mg解上述两式得：??3gsin? l3-17 弹簧、定滑轮和物体如题图3-17所示放置，弹簧劲度系数k为2.0N?m?1；物体的质量

m为6.0kg。滑轮和轻绳间无相对滑动，开始时用手托住物体，弹簧无伸长。求：

（1）若不考虑滑轮的转动惯量，手移开后，弹簧伸长多少时，物体处于受力平衡状态及此时弹簧的弹性势能；

（2）设定滑轮的转动惯量为0.5kg?m2，半径r为0.3m，手移开后，物体下落0.4m时，它的速度为多大？

分析：（1）不考虑滑轮的转动惯量，由物体受力平衡求伸长量x， 再求弹性势能。

（2）若考虑滑轮的转动惯量，则弹簧、滑轮、物体和地球 组成的系统机械能守恒

解：（1）若不考虑滑轮的转动惯量，设弹簧伸长了x距离 时物体处于受力平衡状态， 则：mg?kx

题图3-17

x?mg6?g??3g(m) k2121kx??2?(3g)2?9g2J 22此时弹簧的弹性势能为：Ep?（2）若考虑滑轮得转动惯量，设物体下落的距离为h时，它的速度为v，滑轮的角速度为?，则由机械能守恒定律得，

111mgh?mv2?J?2?kh2 222v?r?把数据代入上述两式得，

1116?10?0.4??6?v2??0.5??2??2?0.4 222v?0.3??解上述两式得：v?2.0m/s

3-18一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速

38

度成正比，即M??k?(k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间． 分析：由转动定律及角加速度的定义，对角速度积分可求解。 解：根据转动定律：

12M?J?

Jd???k? dtd????kdt J∴ 两边积分：

?得 t?(Jln2)k

0???021d????t0kdt J3-19 质量为m的子弹，以速度v0水平射入放在光滑水平面上质量为m0、半径为R的圆盘边缘，并留在该处，v0的方向与射入处的半径垂直，圆盘盘心有一竖直的光滑固定轴，如所示，试求子弹射入后圆盘的角速度?。

分析：在子弹射入圆盘的过程中，子弹和圆盘组成的系统对转轴的角动量和力矩为零，因此对转轴的角动量守恒。

解：设子弹射入后圆盘的角速度为?，则由角动量守恒定律得，

1mv0R?(mR2?m0R2)?

2解上式得：??

3-20一均质细杆，长L?1m，可绕通过一端的水平光滑轴O在铅垂面内自由转动，如题图3-20所示。开始时杆处于铅垂位置，今有一子弹沿水平方向以v?10m?s?1的速度射入细杆。设入射点离O点的距离为

题图3-19

2mv0

2mR?m0R13L ，子弹的质量为细杆质量的。试求：（1）子弹和细杆开始共同运动的

94角速度。（2）子弹和细杆共同摆动能到达的最大角度。

分析：子弹射入细杆过程中，子弹和细杆组成的系统角动量守恒；细杆摆动时，机械能守恒。 解（1）子弹打进杆的过程中子弹和杆组成的系统角动量守恒， 设子弹开始时的角速度为?0，弹和杆一起共同运动的角速度 为?，则由角动量守恒定律得:

39

J子?0?(J子?J杆)? ①

又J子?m3L2m2()?L ② 94163L4④

LO 1J杆＝mL2 ③

3?0?v1040 ??333L?144把②③④式代入①式并解得：??40rad/s ⑤ 19?v 题图3-20

（2）设子弹与杆共同摆动能达到最大角度为?角， 在摆动的过程中杆和子弹及地球组成的系统机械能守恒， 则由机械能守恒定律得，

1mg3311(J子?J杆)?2?(L?Lcos?)?mg(L?Lcos?) ⑥ 294422把②③⑤式及g?10，L=1代入⑥式解得：cos??0.8496

40

。即??0.56rad

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