构造法在求数列通项公式中的应用 毕业论文(5)

第二章 简易构造

an??an?2??3 所以数列?lg?是以lg为首项，2为公比的等比数列。

???? 于是有： lganan?2?lg2n?1?a1???a?2???1??2n?1 ?n?2?

于是得出：an?2?323n?1?10

2?3232n?1n?1 当n?1时，a1?2?32203-1?3，满足an?2?3232n?1n?1?1

所以数列?an?的通项公式为an?

?1

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第三章 复合构造 第三章 复合函数

3.1特征方程构造法

对于部分题型，我们可以引入特征方程进行构造，比如说：数列?an?满足

an?aan?1?b（n?2，a、b、c、d为常数，且ad?bc?0），我们引入特征方程

can?1?dx?ax?b，化解可得：cx2??d?a?x?b?0，假设解得方程的两个根为x1、x2，cx?d?a?x?a?xan?x1a?x?c?n?11，则数列?n1?是以首项为11，公

a1?x2an?x2an?1?x2?an?x2??1?11??c，则数列??是an?x1an?1?x1?an?x1?若x1?x2，则可令

比为c的等比数列；若x1?x2，则可令

以首项为

1，公差为c的等差数列，让后带入a1，a2的值可求得c值，进而a1?x1求出an。

例1：在数列?an?中，已知a1?2，且数列?an?满足an?求通项公式an。

解：由特征方程：x?an?1?2（n?2），

2an?1?1x?2化解得：2x2?2?0 2x?1 解得： x1?1，x2??1 令：

an?1?1a?1?cn

an?1?1an?114 由a1?2，得a2?5，进而得：c??

3?a?1?a?111?，公比为?的等比数列 所以数列?n? 是以首项为1a1?133?an?1?a?11?1? 故： n?????an?13?3?

n?1

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第三章 复合构造 n3n???1? 解得：an?n n3???1?3.2 关于f?an?2an?1an??0的复合构造

对于形如an?2?aan?1?ban（a,b为常数，且都不为0）的数列，我们可以引入特征方程来构造。

分析：不放设特征方程x2?ax?b的两个根为x1，x2 <1>. 当x1?x2?1时，数列?an?等差 an?a1??n?1??a2?a1?

<2>. 当x1?x2?1时，不妨设 x1?x2?x0 则：an?1?x0an?x0?an?x0an?1? ??a2?x0a1?x0n?1 即：an?1?x0an??a2?x0a1?x0n?1 两边同时除以x0得： 所以数列??

n?1an?1an???a2?x0a1? n?1n?2x0x0?an?a1?是以为首项，a2?xoa1为公差的等差数列 n?2??1x0?x0?

ana1???n?1??a2?x0a1? n?2?1x0x0 从而解得：an?a1x0n?1??n?1??a2?x0a1?x0n?2 <3>. 当x1?x2时，

an?1?x1an?x2?an?x1an?1???a2?x1a1?x2n?1................? an?1?x2an?x1?an?x2an?1???a2?x2a1?x1n?1................? 由?-?得：?x2?x1?an??a2?x1a1?x2n?1??a2?x2a1?x1n?1

n?1n?1?a2?x1a1?x2??a2?x2a1?x1 从而解得：an?

x2?x1

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第三章 复合构造 <4>. 当特征方程无解时，该数列无意义。

例2：在数列?an?中，已知a1?1，a2?5,且数列?an?满足an?2?6an?1?9an，

求通项公式an。

解：由特征方程x2?5x?6解得：x1?x2?2

于是有：an?1?2an?2?an?2an?1???a2?2a1?2n?1?3?2n?1

即： an?1?2an?3?2n?1 两边同时除以2n?1得： 所以数列?? 即有：

an?1an?n?2?3 n?122a1an?是以?2为首项，3为公差的等差数列 1?2n?2?2?2?an?2??n?1??3 n?22 从而解得：an??3n?1??2n?2

例3：在数列?an?中，已知a1?1，a2?5,且数列?an?满足an?2?5an?1?6an，

求通项公式an。

解：由特征方程x2?5x?6解得：x1?2，x2?3 于是有：

an?1?2an?3?an?2an?1???a2?2a1?3n?1...................?

an?1?3an?2?an?3an?1???a2?3a1?2n?1...................?

?-?得：an??a2?2a1?3n?1??a2?3a1?2n?1 所以： an?3n?2n

?f1?anbn??0?3.3 关于?f2?anbn??0的复合构造

对于这一类型的复合数列，我们需要构造一个新数列，使之等差或等比。比

?an?1?aan?bbn如说：对于复核数列?求通项an，bn，我们可以构造新数列：

?bn?1?can?dbn

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第三章 复合构造 b??d??an??bn?，即an?1??bn?1??a??c?an??b??d?bn??a??c???bn?，在令?an??a??c???b??d，即?2??a?d???b?0，求出?的值，而an?1??bn?1??a??c??an??bn?a??ca1??b1为首项，a??c为公比的等比数列，进而求出an，bn。

?a?7an?6bn例4：在数列?an?中，已知a1?7，a2?1,且数列?an?满足?n?1，

?bn?1?an?2bn求通项公式an。

解：构造新数列?an??bn?，则有：

6?2??? an?1??bn?1??7???an??6?2??bn??7????an??bn?

7???? 令??6?2?，解得：?1?1或?2??6 7?? 所以数列?an??bn?是首项为a1??b1，7??为公比的等比数列 即： an??bn??a1??b1??7???n?1

当?1?1时，有：an?bn?8n ..................................................? 当?1?1时，有：an?6bn?1 ..................................................?

?an?bn?8n 联立?、?得： ?

?an?6bn?16?8n?18n?1 从而解得：an?，bn?

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