构造法在求数列通项公式中的应用 毕业论文(2)

引 言

引 言

构造法作为数学的一种重要的思想方法，它一直伴随着数学的发展而成长，构造法的内涵十分丰富，具有广泛的适用性，在数学解题尤其是在高中数列解题中具有广泛的应用。本文以“构造法在求数列通项公式中的应用”为题，是以实习过程中学生出现的相关问题为重点、以典型的例题和以构造性思维方式进行讲解、以及在相关老师的指导和帮助下完成的。内容上比较偏重于思想，偏重于方法，偏重于应用，而不是过于追求严格的数学推导。

在实习期间，我主要授课内容是高一数列部分，通过与同学们的交流，我了解到学生在解决数列问题上存在的问题；通过与老师的交流，我得出了一些很好的解决方法，并形成了很多很好的结论，比如说，对于等差数列和等比数列以及它们的前n项和所成的数列都是一些最特殊、最基本的数列，它们的通项公式用演绎法套公式解决，大多数学生都能掌握，而让学生以及老师困惑的都是其他类型的数列。在不断探讨过程中，我发现构造法求通项公式是一种重要的有效方法，它比较灵活，可以通过构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新方法。

在论文的选题上，我主要依据以下两点：一是在实习过程中对学生在数列上存在的问题有所了解，以及本人在数列求通项公式上有一定的知识积累；二是数列的实质是按照一定的规律排列成的一列数，描述这种规律的最简单的形式是通项公式，因此，求数列的通项公式就成为研究数列的一个主要课题。

学习构造法，最主要的是掌握其思想（构造思想）方法，学会应用，将构造法的思维模式变成自己思考问题的模式之一。遇到问题，首先想到解决该问题需要哪些资源，从哪里可以获得这些资源；其次要考虑获得资源后，如何使这些资源得到合理利用，使其产生最大效益。如果若干年后，你即使将学过的公式忘得一干二净，最后头脑中剩下来的还是构造法的这种思维模式，则表明你抓住了构造法的精髓。下面我主要对以下几个方面对“构造法在数列求通项公式的应用”进行展开讨论。

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第一章 绪论

第一章 绪论

1.1 构造法简介

在数学的发展史上，数学家一直注重思维的缜密性、相关联的逻辑性和对新领域的创造性，从而在发展过程中不断形成种种数学模型，数学思维，数学方法以及数学结论，数学模型的构建，数学思维的多样化不仅是科学发展的力量，也使我们在解决相关问题时更加灵活。

构造法作为解决数学问题的重要思维方法，它没有固定的思维方式，是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出来的特点而采取相应的解决问题的办法，应用起来比较灵活，在解决数学问题，特别是数列问题上占有重要地位。历史上不少著名的数学家，如欧几里德，高斯，欧拉，拉格朗日维尔斯特拉斯等，都曾利用构造法成功解决过数学上的难题。

构造法历史进程大概可分为这样三个阶段：一是直觉数学阶段，德国的克隆尼克明确提出并强调了能行性，并主张没有能行性就不得承认它的存在性，成为直觉数学阶段的先驱者。他认为定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。另一个强有力的倡导者是彭加勒，他主张所有的定义和证明都必须是构造性的。近代构造法的系统创立者是布劳威，他从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。

二是算法数学阶段。算法数学是由马尔科夫及其合作者创立的，它以递归函数理论为基础，是一种把数学的一切概念都归约算法的构造性方法。马尔科夫用哥德尔数的办法来处理每个函数，每个实数代表一个特定的递归函数等来严格定义每一个概念。他用标准构造性的方法，采纳直觉派逻辑，他所形成的是一种即限制对象的类，又限制可容许证明方法的类的理论。接着，沙宁通过对各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物的研究，能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。马尔科夫的工作使构造性方法进入了“算法数学”阶段，但是，由于这种构造法依赖于递归函数理论的术语，使得这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于算法数学实践本身没有对于复杂理论及其在计算机科学上的应用更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。

三是现代构造数学阶段，自1967年比肖泊的书出版以后，构造法进入“现代

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第一章 绪论

构造数学”阶段。比肖泊重新建立现代分析的一个重要部分，从而激发了构造法的活力。他研究的课题包含测度论、泛函微积和对偶理论。尤其是测度理论的创立，证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的，消除了人们对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑。比肖泊摆脱了理论方法的不必要的依赖，跨越了直觉数学的自我禁锢，避免了对直觉派的超数学原理的使用，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。为了让一般数学家容易看懂，他采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号。比肖泊为构造法建立了一个更为广泛，更为完整的理论，他在马尔科夫的基础上解决了阅读困难和数学实践上存在的问题，体现出构造法的灵活性、广泛性和实用性，激发了人们对构造思想的认可。

1.2 构造法的前景

构造法伴随数学成长，解决了数学中很多难以解决的问题，为数学的发展做出了成就，在以后数学的发展中，构造法还可以用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。同时，构造法还可以用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。此外，拓扑学，特别是维数理论，也是可以为构造法的洞察力提供实例的数学分支，所以也是构造数学有待开发的新领域。

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第二章 简易构造

第二章 简易构造

2.1 一级构造

所谓一级构造，就是只通过一次模型转换就得出结论的思想方法。一级构造也称为初级构造，它是构造法在数列中应用的基础，也就是说，在利用构造法解决数列题型的问题中，最终都要将题型转变成一级构造的数列表达式形式，所以说，一级构造是构造初步，也是构造法的核心。 2.2.1 一级构造的数列表达式

一般地，形如an?can?1?d（n?2，c,d为常数）的式子，我们称为一级构造的数列表达式。

注意：an?can?1?d（n?2，c,d为常数）是其中一种一级构造的数列表达式，而不是唯一的一级构造的数列表达式。

模型1：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?can?1?d（n?2，c,d为常数），求通项公式an。

分析：不妨设 ?an?A??c?an?1?A? 即 an?can?1?cA?A 又? an?can?1?d ? cA?A?d

d 即 A?

c?1d??d?? ? ?an??ca???n?1?

c?1??c?1??d??d?cdd??an?can?1?d） （验证：?an????c?an?1???an?can?1?c?1c?1c?1c?1????

?数列?an???d?d是以为首项，c为公比的等比数列 a??1c?1?c?1

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第二章 简易构造

?an?dd?n?1???a1??c c?1?c?1?a1,n?1??d?n?1d 从而得出：an??? a1?c?,n?2???c?1?c?1??※ 结论1（重点结论）: 一级构造的数列表达式an?can?1?d（n?2，c,d为常数）的通项公式为：

d?n?1d? an??a1?（n?2）。 ?c?c?1c?1?? 例1：在数列?an?中，已知a1?1，且数列?an?满足an?2an?1?1（n?2），求通项公式an。

解： 不妨设 ?an?A??2?an?1?A? 即 an?2an?1?2A?A 又? an?2an?1?1

? 2A?A?1 即：A?1 ? ?an?1??2?an?1?1?

? 数列?an?1?是以a1?1为首项，2为公比的等比数列 ? an?1?2n 从而得出：an?2n?1

当n?1时，a1?2?1?1，满足an?2n?1 所以数列?an?的通项公式为an?2n?1 2.1.2 超一级构造

在一级构造表达式an?can?1?d（n?2，c,d为常数）中，d为常数，然而在很多数列题型中，d是一个关于n的函数，于是，我们把形如an?can?1?f?n? （n?2，c为常数，f(n)为关于n的函数）的式子，我们称为超一级构造的数列表达式。

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