大学数学(3)

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37.函数 以z??为( )

1?z2

A. 可去奇点 B 级点 C 本性奇点 D 解析点 38．?z?1?1eizdz?（ ） 22(z?1)1?i C21?iA B??ei(1?i) D??

22239.

coszz2?2dz?【 】 z??1A 2?i B 2 C ln(?2) D 0 40、若f(z)?1z，则Res(f,0)?Res(f,?)?（ ）． 【 】

A. 0 B. ?1 C. 4 D. i 41、设f(z)?1z2?1 ，则f(z)的有限孤立奇点有 【 】 A. 0和1 B. 1和2 C. ?i和i D. i 42、设是单位圆正向一周,则?zdz? ( ) 【 】

cA. 0 B. 2?i C.?2? D. 5 三．证明题:

1.若 z?1?2cos? 证明 (1) zm?1zm?2cosm? ; (2) zm?1zzm?2isinm? 2. 证明: f(z)?(z_z?z?) 在(0,0)点的极限不存在

z3. 证明: f(z)?argz 在负实轴上不连续

4. 如果,证明 ?2f(z)?u?v是解析函数(?22/2?x2??y2)f(z)?4f(z)

5． 积分

1z?2dz之值证明:z???1?2cos??105?4cos?d??0 6. 求积分?ezcos?z?1zdz从而证明: ??0ecos(sin?)d???

7． 偏微分方程 utt?a2uxx?cut，其中c为已知常数，作代换 u?e?tv(x,t)，问

11

?取何值时

可消去方程中的一阶导数项？（6分）

8．今有偏微分方程 utt?a2uxx?but，其中b为已知常数，作代换 u?e?xv(x,t)，问? 取

何值时可消去方程中的一阶导数项？（6分） 9.函数f(z),f(z)都在区域D上解析,证明f(z)在D上必为常数 10.证 u(x,t)=tg(x+at)+(x-at) 满足波动方程 utt?a2uxx

11.证明解析函数f(z)?u?v的实部与虚部所确定的曲线族u(x,y)?c1,v(x,y)?c2

32?在f?(z)?0的点处是正交的。

12．证明:(znz21zne?d?n!)?2?i?cn!?n? 其中 C是围绕原点的一条简单曲线。 四．求解析函数

1．u?3x2y?y2,f(i)??1 求解析函数f(z)?u?iv 2．由条件u?2(x?1)y,f(2)?2i 求解析函数f(z)?u?iv 3，u?x2?y2?xy,f(i)??1?i 求解析函数f(z)?u?iv

4．u(x,y)?3x2?3y2,试求解析函数 f(z)?u?iv,使 f(0)?i

5．问a,b为何值时，f(z)?x?ay?i(3x?by)在复平面处处解析, 并求f?(z) 6．设f(z)?x3?y3?2x2y2i，问f(z)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 五．级数

1． 将函数

1(z?a)(z?b) (b?a?0) 在b?z??内展成为幂级数

2． 将函数

1(z?a)(z?b) (b?a?0) 在b?z??内展成为幂级数

3．将函数1(z?a)(z?b) (b?a?0) 在a?z?b内展成为幂级数

4．将函数

1(z?a)(z?b) (b?a?0) 在z?a内展成为幂级数

12

5．将函数 6．将函数

?z0(1?cos?)d?展为含z的幂级数并指出收敛范围

z按(z?2)的幂展开。并指出收敛范围 z?17． 将函数f(z)=8． 将函数f(z)=9． 函数f(z)?10． 函数

六．孤立奇点 1.求函数

1 在 z?1?2内展成罗朗级数 z(1?z)1 在 1?z?1?2内展成罗朗级数 z(1?z)1在0?z?1?1内展成罗朗级数，并指出收敛范围

(z?1)(z?2)z按(z?1)的幂展开。并指出收敛范围 z?2z?1的孤立奇点.并指明类型,对于z??也加以讨论 22z(z?1)z?1的孤立奇点.并指明类型,把z??也加以讨论 2z(z?1)2．求函数

3．确定函数f(z)?1z(e?1)3z3的孤立奇点的类型（分母的六阶零点）

4．确定函数f(z)?sin七．残数

1的有限孤立奇点的类型（本性奇点） 1?z1?e2z1． 求函数4在孤立奇点z?0, z?? 处的残数

z2． 求函数3. 求函数

z在z=?1 及z=?处的残数

(z?1)(z?1)2z在z=-1 及z=?处的残数 2(z?1)z?1z4． 求出f(z)?e八.计算积分:

在所有孤立奇点处的留数

ezdzdz 1．? 2。 c:x2?y2?2(x?y) 222?z?21?zc(z?1)(z?1) 13

dx3。???22dx22(x?a)(x?b)??(a?o,b?0)x24。???222dx(a?0)

(x?a)??5．?08。?011.

????dx1dx(a?0) 6。???(x2?1)3dx 7。x4?a4?x2dxdx

??(x2?1)(x2?4)????2?d?1cosmx2dxdx 9。 10。?0a?sin??01?sin2x1?x2?(a?1)

12??2?0d?1??cos?(0???1)

九．定解问题：

1．设有一根长为l，两端固定的弦，在初时时刻被拉开成一条抛物线形状?(x)?hx(l?x)，

然后无初速度地放开，写出此定解问题。

2．今有一弦，其两端固定在x?0,x?l处。在开始一瞬间，它的形状

是一条以过x?点的铅垂线为对称轴的抛物线(如图)。假定没有初速度，试写出相应的定界问题求解定解问题 5． 用分离变量法，求解混合问题：

?utt?a2uxxt?0,0?x?l? ?ux(0,t)?0,u(l.t)?0t?0 ?u(x,0)??(x)u(x,0)??(x)0?x?lt?l2

6．用分离变量法求解如下定解问题：

?utt?a2uxxx?(0,l)t?0? ?u(0,t)?0 ux(l,t)?0?u(x,0)?x2?2lxu(x,0)?0t?2??2u2?ut?0x?(0,l)?2?a2?t?x??7．?ut?0??(x)utt?0??(x)x?(0,l)

??u?u??0?0t?0x?0x?l??x??x13．求解一维波动方程混合问题的解 （10分）

14

?utt?a2uxx???u(o,t)?0ux(l,t)?0 t?0 ?2?xu(x,0)?sin,ut(x,0)?00?x?l?l?1．如果f(z)?u?iv是解析函数，证明(证： ||f(z)|?u2?v2,故

??|f(z)|)2?(|f(z)|)2?|f'(z)|2. ?x?yuuy?vvy?uvx?vuxuux?vvx???由C-R条件得|f(z)|? (|f(z)|?,|f(z)|?222222?y?yu?vu?v?yu?v22(u2?v2)ux?(u2?v2)vx??2222'2故（|f(x)|)?(|f(z)|)??u?v?|f(z)|. xy22?x?yu?v???u?2????2?2??2?2?2．如果f(z)?u?iv是解析函数，证明?2?2?f??z??4???????

?y????x???x???x???2222??2???u?u??????2????u???2??????u????证：2f?z???2u?2??=22， ???x?x?x??x??x?x??x???x?????2???u?2?2u?????2???2???u???2f?z???2u?2??=2????y???u?y2????y?????y2?. ?y??y?y??y2?????????2u?2u?2??2?利用C-R条件可知2?2?0，2?2?0，

?x?y?x?y???u?2????2?2??2?2?从而，所证等式成立，即?2?2?f??z??4???????。

?y????x???x???x??? 15

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