大学数学

数理方法总复习

一． 判断题

1. 方程utt?u2ux?u?0为二阶非线性偏微分方程 （ ） 2. 方程ut?ut2ux?u?xt为一阶线性非齐次偏微分方程 （ ） 3. 区域?上的调和函数一定是区域?上的解析函数 （ ） 4. 定解问题的适定性是指解得存在性，唯一性和可微性 （ ） 5. 定解条件包括初始条件，边界条件和出边值条件 6、级数??in绝对收敛 n?0n7、复平面内解析的函数一定是连续函数 8、点1z?0是函数ez的本性奇点. 9、求级数??(?1)n?1zn?1n(n?1)的收敛半径2 n?010、若a(??)为函数f(z)的可去奇点 ,则Res[f(z),a]?0 11、z2?zz 12.若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析,且Imv(x,y)?0,则f(z)在D内常数 13、是z?1函数ezz?1的一级极点 14、若函数f(z)在z0点连续, ,则f(z)在z0点解析 15.零的幅角是零 16.. 若 z 为纯虚数，则 z_?z (z?0) 17.. f(z)在z0连续，则f/(z0) 必存在 18． i?2i 19.i的平方根是12(1?i),?12(1?i) 20. cos???4?isin4主幅角是4 1

）

） ） ） ） ） ） ） ） ） ） ） ） ） ） ）（ （

（ （ （ （ （

（

（

（

（ （ （ （ （

（

21. 对任何z恒有cosz?1 （ ） 22.

dz?0 ?coszz?1 （ ）

23. 若z0是函数f(z) 的奇点，，则f(z)在 z0必不可导 （ ）

24 若u(x,y),v(x,y)可导，则 f(z)= u(x,y)?iv(x,y)必可导 （ ） 25..若u(x,y),v(x,y)是单连通区域D上的两个调和函数，则f(z)= u(x,y)?iv(x,y)

在D上一定解析 （ ） 26.. 在复变函数中,负数也是没有对数的 （ ）

i27. Re(5e)与Im(7e6)能比较大小 （ ）

3?i?28.u?x?y,v?x?y是一对共轭调和函数,因为它们满足拉普拉斯方程 （ ） 29.

dz?0 （ ） 2?z?1z29. ez 的周期是2? （ ）

130仅存在一个数，使得??z； （ ）

z31. z1?z2?z1?z2 （ ） 32. 如果f'?z0?存在，那么f?z?在z0解析； （ ） 33.设f?z??u?i?在区域D内是解析的。如果u是实常数，那么f?z?在D内是常熟数 34．波动方程的定解问题中初始条件的个数为1个； （ ） 35 定解问题的适定性是指解的存在性，唯一性和可微性； （ ） 36. 含有方程，初始条件的定解问题称为初边值问题； （ ） 37.. 含有方程，初始条件和边解条件的定解问题称为初边值问题； （ ） 38. 解的稳定性是指如果当定解条件或自由项作微小变化时，相应的解有很大的变化，则称这个定解问题的解为稳定的. （ ） 39. 复数的运算与向量运算没有区别 （ ） 40. 一个矩形的内部加上边界上一点不是区域 （ ）

2

41. w?f?z?在一点可导与解析没有区别 （ ） 42. sinz?1与cosz?1在复数范围内仍然成立 （ ） 43. 函数v?x?y是函数u?x?y的共轭调和函数 （ ） 44.每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛。 （ ） 45.每一个幂级数收敛于一个解析函数。 （ ） 46.每一个在z0连续的函数一定可以在z0的领域内展开成泰勒级数。 （ ） 47.函数的奇点一定是孤立奇点 （ ） 48.已知有限可去奇点的留数一定为0；当点?为函数的可去奇点时，留数也一定为（0二． 填空题：

1.f(z)?(?1?i)7 则 Rez?______,Imz?___,z?___,argz?_____

2.设 f(z)?3?2ii?1 Rez?______,Imz?___,z?___,argz?____ _3.设 f(z)?(1?i)4 Rez?______,Imz?___,z?___,argz?_____

4．z2i1=

?1?i，Rez?______,Imz?___,z?___,argz?_____ 5.设z?1?i32;则Rez?______,Imz?___,z?___,argz?_____

5. cos??isin?44主幅角是_______________

26?34i26.

26?34i的a?ib形式是_______________

7．3?2?2i所有根是__________________ 8．3?8所有根是__________________

9．41?i的所有根zk=_______________________________(k=_________) 10．6?1 所有根zk=_______________________________(k=_________)

11． 设 z5i1=

2?i 用三角形式表示___________ 12． 设z1=1?i2 z2 =3?i 则z1z 的指数形式为_______z1?z2的三角形式___

213. 设 z=?1?i3 的指数形式为_____ 三角形式____

3

） 14．z1=

2i的指数形式为_____ 三角形式____ ?1?i15. 2i?1的值是__________________.. 16. （1?i)i的值是_ _________________ 17．i1?i?__________ 18。Ln(?i)?___________

19．Ln(?2)?___________ 20．Ln(?2?3i)?___________

21．(3?4i)1?i=__________ 22．方程Lnz?i的解z?_________

2?23．方程ez?1?0的解z?_________

24． z?? 为f(z)?zsin的孤立奇点,且为________点 25. 设f(z)?cos1 的奇点_________,且该奇点为_______点. z?i?1z1z26． 设f(z)?e 的奇点为 _______且该奇点为 _________

27．如果z?a为f(z)的有限孤立奇点，则z?a为f(z)的可去奇点的充分必要条件为 28．如果z?a为f(z)的有限孤立奇点，则z?a为f(z)的极点的充分必要条件为__________ 29. z?? 为f(z)?a0?a1z?a2z2??amzm的孤立奇点,且为________点 30．z?1是函数e 的 _______奇点 31．函数f(z)?sinz的有限孤立奇点z0?___，z0是何种类型的奇点？_____ zz1?z32．函数f(z)?z?sinz 的零点 z?0 是 _______阶零点 33．函数f(z)?sinz?1 的零点 z??2 , 是 _______阶零点

1?2z234． 设f(z)? ，则 Argf(i)?__________

1?z235．设f(z)?1?z ，则 Argf(i)?__________ 1?zez?__________ 36. limz??

4

37．f(z)在z0处可展成Taylor级数与f(z)在z0处解析____.等价 38．函数函数

1在 z?1 内的幂级数展开式为___________。 1?zz1z39．函数f(z)=e?e 在 0?z?? 内的罗朗级数为___________。。 40. 函数

1在 z?1?2 内的幂级数展开式.为_______________________. 1?z41．．级数1?z?z2???(?1)nzn?? 的和函数为___________ 42．级数1?z?z2??zn?? 的和函数为___________

ezsinz44．积分?|z|?1dz的值为________，?|z|?2dz?________.

?z(z?)2245.设c 为 z?ei?,?是从?至的一段，则?Czdz?_____________

2??246. 设c 是从 z?0至z?1?i的直线段，则?Czdz?_____________ 47. 48.

1dz?_____________ 2?z?1coszz?1?coszdz?_____________ z2?2e2(z?1)249

?z?32z?3z?2dz?_____________

50.

?z?321dz?_____________

(z2?3z?2)3eizdz?_____________ (z2?1)2n!nz的收敛半径为___________ nn?1n?51．

?z?3252. 级数?53。级数

?n?1??nnzn的收敛半径为____

54．级数?zn的收敛半径为___________ 55.形如

1n?1n!?cn?0?n(z?z0)n的泰勒级数,设收敛半径为R,则收敛域可表为___________

5

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