7、设a?Z，求证6a(a?1)(2a?1)
338、已知：6x1?x2???xn，求证6x1?x2???xn
39、设n是奇数，na?b,na?b，求证n(a,b)
10、设(a,10)?1，证明：各位数码全是1的数中有a的倍数 11、求证(a,b,c)?((a,b),c)
本节的定义、定理、性质较为繁杂，为便于记忆，整理成以下图式：
素数与合数 自然数集的进一步分类：素数、合数、1
定义 如果大于1的整数p恰有两个正因数1与P，就说P是素数，如果正整数N*有多于两个的正因数，就说N*是合数。
例1：证明：对任给的正整数N*，总可找到N*个相邻的合数。
定理一：任一整数N*的最小因数P（P>1）是素数（N*>1） 定理二：素数有无限多个。
定理三：若N*是合数，P（P>1）是N*的最小正因数，则p?n 以上的例子和定理分别刻画了素数的某些分布特征和判断素数的方法。 定理四：若ai?Z,i?1,2,3,?,n，P是素数，pa1a2?an则P整除某个ai
定理五：（唯一分解定理）每个大于1的整数，都可唯一地分解成素因数（不计因数的顺序）的积。 推论：任一大于1的整数a可以唯一分解成a?p11p22?pk时为了表述方便，允许?i?0，上式称为a的标准分解式。 例2、设2?1(m?N)是素数，求证：m是2的非负整数次幂。 定理六：若a,b得标准分解式为a?p11p22?pnrrrm???k这里pi是相异的素数，?i是正整数。有
???n，b?p11p22?pnn，
???则(a,b)?p11?p22?pnn，[a,b]?p11?p22?pnn。
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???这里ri?min(?i,?i)，?i?max(?i,?i) ，i?1,2,?,n、
例3、求证[a,b,c](ab,bc,ca)?abc
定理七：若a的标准分解式为a?p1p2?pnn?1?2?n，则a的一切正因数的个数?(a)??(?i?1ni?1)，a的
一切正因数的和为?(a)??i?1pi?i?1?1。
pi?1例4、证明形如4n?1(n?N)的素数有无限个。
哥德巴赫于1742年在和欧拉的通信中提出的猜想： 1． 每个大于5的偶数都是两个奇素数之和 2． 每个大于8的奇数都是三个奇素数之和
1973年5月《中国科学》杂志刊出陈景润研究G氐猜想的结果：
“任一充分大的偶数是一个素数和另一个素数的和，后者或为素数，或仅另两个素数的乘积。” 此定理被简称为“1+2”当然离“1+1”还有一段距离，不过这已经是当今最优成果了。 习题：
21、 设p是异于3的奇素数，求证24p?1
442、 设p,q是素数，且p?q?5，求证240p?q
3、 设整数a,b,c都大于1，证明[(a,c),(b,c)]?([a,b],c) 4、 求证：[a,b,c]2(a,b)(b,c)(c,a)?(a,b,c)2[a,b][b,c][c,a]
n5、 设a,n都是大于1，a?1是素数，求证：a?2，且n是素数
6、 从1到100这100个自然数中，任意选出51个数，求证其中至少有两个数，它们中的一个是另一个的
倍数。
7、 设a,b?N,(a,b)?1，证明?(a,b)??(a)?(b);?(ab)??(a)?(b) 8、 证明：形如3n?2的素数有无限多个。
9、 设n?2，证明：在n与n!之间至少有一个素数。
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210、设pn是表示由小到大排列的第n个素数，证明pn?2
n
同余 定义 给定正整数m，如果用它除任意两个整数a,b，所得余数相同，就说a,b对于模m同余，记作
a?b?modm?。若所得余数不同，就说a,b对于模m不同余，记作a?b?modm?。
定理与性质
例1 正整数a能被9整除的充要条件是a的各个数码之和能被9整除。
例2 设a=anan?1???a1a0，求证：11a?a0?a1?a2??????1?an?0?modn?。 例3 求正整数a能被7正处的充要条件。 例4 设44444444n的各个数码之和为a，a的各个数码之和为b，求b的各个数码之和为c。
例5 一环形公路上有几个汽车站，海拔高度只有5米和10米两种，若相邻两站的海拔高度相等，则
称连接它们的公路是水平的；如果两相邻汽车站海拔高度不等，则称相连公路是有坡的。有一旅行者坐汽车环行东路一周，发现水平公路的段数与有坡公路的段数相等，求证4整除n 。
nnnn例6 设Pn。 n?1?2?3?4?n?N?，问：怎样的n使得10|P444x,x,???,xx?x?????x?1599。 12141214例7 求证：任何整数都不能满足方程
习题
1. 设a?b?modn?，求证：?a,m???b,m?。 2. 设a?5?mod10?，求证：a?25?mod100?。
23. 设ABCDE是按逆时针方向排列的五角棋盘，从A沿逆时针方向移动棋子，第K次移动K步，证明无论移动多少次，C、E处永远不可能停留棋子。 4. 设a、b?Z，P是素数，求证?a?b??a?bppp?modp?。
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5. 证明n2?n2?1??n2?4??0?mod360?。
n2n?26. 设n,a?N，2|a，求证a?1mod2。
??7. 已知n?4?mod9?，求证n不能表为3个立方数的和。 8. 已知n?7?mod8?，求证n不能表为3个平方数的和。 9．求出一个整数能被101（或37）整除的充要条件。 10．求下列各数的末两位数：77和99。 11．记0?a?7，且10101079?a?mod7?，求a。
12．已知792|13ab45c，求a、b、c。
补充题：
1. （1）有几个住鞥书，其积为n，其和为零。求证4 | n 。 （2）设4 | n，求证：可以找出几个整数，使其积为n，其和为零。
（十八届全苏中学生竞赛）
2. 设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在ab?ab，bc?bc，ca?ca三个数中，至少有一个数能被10整除。
（86. 全国初中联赛，二试，四）
3. 把19,20，?，79,80诸数连写成数A=192021?7980，试证1980 | A。
（全苏14届 1980.8.1）
4. 试求所有能被11整除的三位数，且除得之商等于被除数中各数字的平方和。 （二届IMO 1960）
333333不定方程 若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数，它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程常联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。
例1 在等式x5?3yz?7850中还原数学x, y, z。（1987年全俄中学生竞赛题） 例2 解方程xyz?zyx?xzyyx。（1978年广东省中学数学竞赛题）
例3 求方程2+2+2+2=20.625满足条件：w>x>y>z的整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛
wxyz题）
数论函数 14
定义1 设x为任一实数，函数
?x?表示不超过x的最大整数。
?x?称数论函数，也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中的热门课题，而?x?则是热门
?x??Z；②?x??x??x??1。
中的热门。
由定义，显然有①定义2
?x??x??x?称为x的小数部分，显然0??x??1。
?429??。 例1 计算??3n3?n2?n?1?,n?N?例2 求?。
x??x2?例3 解方程。
例4 已知方程
?3x?1??2x?12，求所有根的和。（1987年初中联考）
习题
?5?6x?15x?7???85。 ?1. ?x2??5x????1?0。 2.
3.
x3??x??3。（英斯科第20届奥林匹克数学竞赛题）
有时也常令
例5 方程(A) 0 ; 例6 记
?x?=x??,???0,1?通过对?的讨论来解题。
4x2?40?x??51?0(B) 1 ;
的实数解的个数是（ ）。（1985美国数学竞赛题）
(D) 3 ;
(E) 4 .
(C) 2 ;
?x?表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且
2I=?n?1??n????（A）I > 0 ;
?n?1???n?1????，那么（ ）。（1986年全国初中联考）
22（B）I < 0 ; （C）I = 0 ;
（D）当n取不同的值时，以上三种情况都有可能出现
?x?例7 求正数x ，使得
2?x??x?。
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