高中数学竞赛资料-数论部分 (1)

初等数论简介

绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子：

（1） 证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞

赛第一题)

（2） ①设n?Z，证明132n?1是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n，能使1?2?3???n能整除1?2?3??n？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：n?3321n?n?1对于任何正整数n都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首2221n?4不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）

14n?3届数学竞赛第一题）

（4） 证明：对任何自然数n，分数

（5） 令(a,b,?,g)和[a,b,?,g]分别表示正整数a,b,?,g的最大公因数和最小公倍数，试证：

2a,b,c???a,b,c??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）

a,b?b,c?c,aa,bb,cc,a????????????2这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字：

（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：

(1)方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解(x,y)的个数是（ ）

A、 0 B、1 C、3 D、无穷多

（2007全国初中联赛5）

（2）已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x?abx?如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

（2007全国初中联赛12）

21?a?b??0是否有两个整数解？ 2 1

（3）①是否存在正整数m,n，使得m(m?2)?n(n?1)？

②设k(k?3)是给定的正整数，是否存在正整数m,n，使得m(m?k)?n(n?1)？ （2007全国初中联赛14） （4）关于x,y的方程x2?xy?2y2?29的整数解(x,y)得组数为（ ） A、2 B、3 C、4 D、无穷多

（2009全国初中联赛5） （5）已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数，若b是

关于x的方程(x?a1)?x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则b的值为 （2009全国初中联赛8）

3（6）已知正整数a满足192a?191，且a?2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和。

（2009全国初中联赛12）

（7）n个正整数a1,a2,?,an满足如下条件：1?a1?a2???an?2009；且a1,a2,?,an中任意n?1个不同的数的算术平均数都是正数，求n的最大值。

（2009全国初中联赛14） (8)在一列数x1,x2,x3,…中，已知x1?1，且当k?2时，xk?xk?1?1?4(??k?1??k?2???)（取整符号?a???44????表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2,?0.2??0）则x2010等于（ ） A、 1 B 、 2 C、 3 D、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足2p2?p?8?m2?2m的所有素数P和正整数m。

（2010全国初中联赛13）

（10）从1,2,…,2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）

（11）设四位数abcd满足a?b?c?d?1?10c?d，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）

（12）已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x?ax?b?0的两个根都大

2

2233331，求a+b+c的值

（2011全国初中联赛11）

（13）若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5其中总有一个整数是素数，求n的最大值。

（2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：

a1,a2,…an，例如a1?22?12?3，a2?32?22?5，??那么a2007= （2007福建省高一数学竞赛12）

（15）求最小的正整数n，使得集合{1,2,3,…,2007}的每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。

（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a和b(其中b<1000)，斜边长是b+1的直角三角形有（ ） A、20个 B、21个 C、22个 D、43个

（2008福建省高一数学竞赛5）

（17）设x、y为非负整数，使得x?2y是5的倍数，x?y是3的倍数，且2x?y?99，则7x?5y的最小值为

（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数a1?a2?…?a12中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则 （2008福建省高一数学竞赛12）

a12的最小值是 a11,2,3,（19）设S?{,…}n（n为正整数），若S得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25

整除，求n的最大值。 （2008福建省高一数学竞赛17）

123500???????log?log?log?…?log（20）设?x?是不超过x的最大整数，则?3333????????=

（2009福建省高一数学竞赛11）

（21）已知集合M是集合S?{1,2,3,…,2009}的含有m个元素的子集，且对集合M的任意三个元素x,y,z均有x+y不能整除z，求m的最大值。

（2009福建省高一数学竞赛17）

3

（22）已知a,b,c为正整数，且c?b?a?1，(a?)(b?)(c?)为整数，则a+b+c=

（2011福建省高一数学竞赛12） （23）正整数n?500，具有如下性质：从集合{1,2,…,500}中任取一个元素m，则m整除n的概率是则n的最大值是

（2008福建省预赛12） （24）设f(x)施周期函数，T和1是f(x)的周期且0?T?1，证明：

1c1a1b1，100（1）若T为有理数，则存在素数P，使

1是f(x)的周期； p（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列?an?满足1?an?am?0，（n=1,2, …）且每个an都是f(x)的周期 （2008全国高中联赛加试二）

（25）方程x?x??9的实数解事 （其中?x?表示不超过x的最大整数） 2 （2009福建初赛9） （26）设xi??2?1,2?1,i?1,2,…,2010，令S?x1x2?x3x4?…x2009x2010

?（1）S能否等于2010？证明你的结论； （2）S能取到多少个不同的整数值？

（2009福建初赛14）

k（27）设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m?k，使得Cm与l互素。

（2009全国高中联赛加试三）

23（28）已知集合A?xx?a0?a1?7?a2?7?a3?7，其中ai??0,1,2,3,4,5,6?，i?0,1,2,3，且

??a3?0，若正整数m,n?A，且m?n?2010,m?n，则符合条件的正整数m有 个。

（2010福建预赛6）

（29）将方程x?3??x??4的实数解从小到大排列得x1,x2,…xk，则x13?x23?x33?…xk3的值为 3 （2010福建预赛8）

4

（30）设k是给定的正整数，r?k?1，记f(1)(r)?f(r)?r[r],f(l)(r)?f(f(l?1)(r))，l?2。证明：2存在正整数m，使得f(m)(r)为一个整数。这里，[x]表示不小于实数x的最小整数。 （2010全国高中联赛加试二）

（31）已知正整数x,y,z满足条件xyz?(14?x)(14?y)(14?z)，且x?y?z?28，则x2?y2?z2的最大值为

（2011福建预赛7）

（32）证明：对任意整数n?4,存在一个n次多项式f(x)?xn?an?1xn?1?…a1x?a0具有如下性质： （1）a0,a1,…,an?1均为正整数；

（2）对任意正整数m，及任意k(k?2)个互不相同的正整数r1,r2,…,rk均有f(m)?f(r1)f(r2)…f(rk) （2011全国高中联赛加试二） （33）证明：存在无穷多个正整数n，使得n?1有一个大于2n?2n的质因子。 （2008第49届IMO.3）

（34）设n是一个正整数，a1,a2,…ak(k?2)是集合?1,…,n?中互不相同的整数，使得对于i?1,…,k?1都有n整除ai(ai?1?1)。

证明：n不整除ak(a1?1) （2009第50届IMO.1）

本资料主要介绍中学代数课程里未能深入谈到的整数的性质及其应用，初等数论的解题过程通常不涉及很多的基础知识，重要的是机智和灵活。本资料除打上“*”的是少数内容外，初二年以上的学生均可学习掌握。

为叙述方便，本资料中的字母均表示整数。交有Z，N*，Z*分别表示整数集，正整数集和非零整数集。

2带余除法与整除 整数的概念、分类、自然数两种理论（基数理论，序数理论）

基数用于表示“多少”：将所有有限集分类，使所含元素个数一样多的集合成为同一类，对每一类用一个记号来表示它们（这一类的集合）所含元素个数一样多这个共同特征。这个记号就是一个自然数。

公理化的方法：对已有的知识进行深入的分析，选择其中一些基本关系作为不定义的概念，一些基本

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中数学竞赛资料-数论部分 (1)在线全文阅读。