高中数学竞赛资料-数论部分 (1)(2)

性质作为不加证明的公理，建立起公理系统。然后由所建立的公理系统出发，应用形式逻辑的方法，来给出其它有关概念的定义，并证明各种命题。

序数表示“第几”*（peano定理）如果非空集合N*中的某些元素之间有一个基本关系“直接后继”（元素a的直接后继记为a’），且N*满足以下条件： 1．?1?N*,?a?N*，必有a??1

**2．a?b?a??b?a?N,b?N

????**3．a??b??a?ba?N,b?N

4．N*的子集M若具有下面的性质

i?1?Mii?a?M?a??M,则M?N*

定理1 带余除法

设a?Z，b?Z则有且只有一对整数q与r，使得a?bq?r其中0?r

定义1、定理1中的q与r分别称a除以b的不完全商与最小非负余数，简称商和余数。

定义2、定理1中的r?0时（即a?bq时）就称a为b的倍数，b是a的约数（或因数）a能被b整除，

*b整除a，记作ba

性质1、① 0是任何数的倍数（0除外）； ② ?1是任何数的约束；

??ba

??*③ a?Z?aa； ④ ba??b?a；

???ba

ba?ba???⑤ ??b?a； ⑥ ??a??b；

a?0?ab????ba????bcac⑦ ； ⑧ ???bac； *c?Zc?Z????babai?nab???⑨ ??ac； ⑩ ki?Z??b?kiai

bc?i?1?i?1,2,3,?,n??

公式1、x?y?(x?y)(x公式2、x?y?(x?y)(xnnnnn?1?xn?2y???xyn?2?yn?1) (n?N*) ?xn?2y???xyn?2?yn?1) （n是正偶数）

n?1 6

公式3、xn?yn?(x?y)(xn?1?xn?2y???xyn?2?yn?1) （n是正奇数）

（以上三个公式中的x,y可以是任意实数）

例1、设b?99?99（31位数）a?99?99(1984位数)，求证ba。 例2、设a?cab?cd求证a?cad?bc。

定义3、能被2整除的数称偶数，不能被2整除的数称奇数。 性质2、用“0”代表偶数，“1”代表奇数，则有

① 0+0=0,0+1=1，1+0=1,1+1=0 ②0?0=0,0?1=0,1?0=0,1?1=1 ③奇数个奇数的和还是奇数 ④任意个奇数之积是奇数

qp*例3、设p,q都是正奇数，且p?q?2，求证p?qq?p

注意：奇偶分类在处理很多问题时有用。求末位数问题： 令G(a)表示a的末位数，则有 性质3、①G(a?b)?G?G(a)?G(b)? ②G(a?b)?G?G(a)?G(b)?

mm③G(a)?G??G(a)??

④任一自然数的正整数次幂的末位数有周期变化的规律。 例4、 求171988的末位数

例5、 ①设n,R为自然数，求证G(a4R?n)?G(an)；

②设n为自然数，求证G(a4n)?G(a4)

例6、G(6767)

性质4、①设b为奇数，c为偶数，则G(ac67bc)?G(a)

②设b为偶数，c为奇数（c?1）则G(ab)?G(a4) ③设b为偶数，c为偶数，则G(ab)?G(a4) ④设b为奇数，c为奇数，（c?1）则G(ab)?G(ab)

7

cc

19n个?19例7、求G(22*例8、求a19)

1211?2?13的末两位数。

例9、设a1,a2,a3,?a7是1,2,3,?,7这七个自然数的任何一种次序的排列， 求证：(a1?1)(a2?2)(a3?3)?(a7?7)总是一个偶数。

例10、某班有49位同学，坐成七行七列，每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座”，要让这49位同学中的每一位都换到他邻座上去，问这种调换座的方案能否实现？

作为本节内容的结束，请注意以下两个重要的命题：

① 在m(m?2)个相邻整数中，有且只有一个数能被m整除。

② 若整数g?1，则任一正整数a能够唯一表示为a?angn?an?1gn?1???a1g?a0 这里ai?Z,n?0，且0?ai

习题：

1. 用票面为3分和5分的邮票可以支付任何n（整数n?7）分的邮资。

2. 把十个数码0，1,2,3,4??，9任意两两搭配，组成没有重复数码的5个两位数，求证这样5个两位数

的和是9的倍数。

3. 设p10a?b,p10c?d，求证：pad?bc

24. 设a是奇数，求证：8a?1

5. 证明：各位数码全是1的数中，有且只有一个是平方数。 6. 证明：前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9 7. 设a?Z，求证a(a?1)(a?2)(a?3)?1时奇数的平方。

8. 设a?k?10，n为自然数，k是非负整数，求证：(a?1)(a?3)(a?7)(a?9)的末三位数是189。 9. 证明：整数a能够表示成两个整数平方和的充要条件是2a也具有相同性质。

10. 设整数x,a,b,c,d互不相等，且(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)?4，求证4x?a?b?c?d

4211. 设2n，求证16n?4n?11。

n 8

12. 设f(n)?53n?52n?5n?1(n?N*)，证明：当且仅当4n时，13f(n)。 13. 已知n?0，求证：32?1

14. 证明：在任意n个整数中，总可以找到k(1?k?n)个整数，使它们的和是n的倍数。

15. 能否把1,1,2,2,3,3,?,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两

个数，??，两个1986之间夹着1986个数？请证明你的结论

（首届全国数学冬令营竞赛试题五）

16. 设正整数d不等于2,5,13，证明集合?2,5,13,d?中可以找到两个不同元素a,b使ab?1不是完全平方

数 （第27届IMO）

n3n公因数与公倍数 定义1、若dai,i?1,2,?,n,n?2就称d是这几个数的公因数；

定义2、n(n?2)个不全为零的整数ai的公因数中的最大数叫做这几个整数的最大公因数，记

(a1,a2,?an)

性质一：(a1,a2,?an)?1

定义3、若(a1,a2,?an)?1，则称a1,a2,?an互素（互质） 定义4、若aim,i?1,2,?,n,n?2，则称m是ai的公倍数；

定义5、非零整数的一切正的公倍数中的最小正数叫最小公倍数，记?a1,a2,?an? 定理1、若a,b,c不全为零，且a?bq?c则(a,b)?(b,c) 性质二：(a1,a2,?,an)?(a1,a2,?an) 定理2、若

ca????c(a,b) cb??定理3、若整数a,b不全为零，则存在整数x,y使得ax?by?(a,b) 性质三：m?N，(ma,mb)?m(a,b) 性质四：若(a,c)?1，则(ab,c)?(b,c) 定理4、若ak,bk，则?a,b?k

9

*定理5、若a,b是同号整数，则?a,b??a,b??ab 例1、 例2、 例3、 例4、 例5、

形如Fn?2?1(n?0)的数称费尔马数，求证(Fi,Fj)?1，这里i,j都是非负整数，且i?j 设a?N*,b?N*,且a?b，证明(2a?1,2b?1)?1?(a,b)?1 已知(a,b)?1，求证(ab,a?b)?1

2n6f?3?，求证6f?6? 设f(x)使非零整系数多项式，6f?2?，求证(a?b,?a,b?)?(a,b)

设m?N，证明：当且仅当m??a,b?时，?*例6、

?mm?,??1 ab??例7、 例8、 例9、

已知a1,a2,?,an是两两互素的正整数，求证：?a1,a2,?,an??a1a2a3?an 求证平方数的正因数有奇数个，非平方数的正因数有偶数个。

有一百盏电灯，排成一行，自左向右，编号1,2,3,?,99,100。每灯由一拉线开关控制，最

初灯全关着。另有一百个学生顺次走过，第k个学生把凡是编号为k的倍数的电灯开关拉一下，

(k?1,2,3,?,100)问：100个学生全部过去之后，有哪几个编号的灯还亮着？

习题：

1、设ak表示各位数码都是1的k（k?N）位数，求证：

(am,an)?1的充要条件是(m,n)?1，这里m,n?N*，且m?n

2、设ax0?by0是形如ax?by（a,b不全为0）的数中最小正数。 求证：（1）ax0?by0ax?by； （2）ax0?by0?(a,b) 3、设(x,y)?1，求证(x?y,x?y)?1或2

4、设(a,b)?d,(a?,b?)?d?，求证(aa?,ba?,ab?,bb?)?dd? 5、已知：a,b为非零自然数，n?N

求证：（1）(a,b)?(a,b)；（2）[a,b]?[a,b]

6、设a?Z，证明：数列a,2a,3a,?,na中n的倍数共有(n,a)个。

*nnnnnn 10