初中数学3年中考2年模拟真题演练(2)

（1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

A D O B E C

【答案】（1）证明：在△ACD与△ABE中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴ △ACD≌△ABE．…………………… 3分 ∴ AD=AE． ……………………4分 (2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt△ADO与△AEO中， ∵OA=OA，AD=AE，

B

D

A E

O C ∴ △ADO≌△AEO． ……………………………………6分 ∴ ∠DAO=∠EAO．

即OA是∠BAC的平分线． ………………………………………7分 又∵AB=AC，

∴ OA⊥BC． ………………………………………8分

3. （2018山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． （1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM， 求证： ME=BD．

【答案】（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15o，

∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o， ∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC， ∴∠DCA=∠DCB=45o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o， ∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o， ∴∠BDM=∠EDC， ∴DE平分∠BDC； （2）如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°， ∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．

4. （2018湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边

上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． A

D E

B

第18题图

F C

【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5

5. （2018浙江衢州，23,10分）?ABC是一张等腰直角三角形纸板，?C?Rt?，AC?BC?2.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

ADAMEQFBCPNB（第23题）

C（第23题图1） 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的

?ADE和?BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这

两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2= ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，S10? . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得AE?DE?EC,即EC?1,S正方形CFDE?1.如图乙，设MN?x，则由题意，得AM?MQ?PN?NB?MN?x,

?3x?22,解得x??S正方形PNMQ又1?223

2228?()?398 9?甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，

S正方形CFDE?1S2ABC?1

解法2：如图甲，由题意得AE?DE?EC，即EC=1

如图乙，设MN?x,则由题意得AM?MQ?QP?PN?NB?MN?x

?3x?22,解得x?又1?22322,即EC?MN3

?甲种剪法所得的正方形的面积更大

1(2)S2?

21(3)S10?9

21(3)解法1：探索规律可知：Sn?n?1‘

2剩余三角形的面积和为：2??S1?S2?解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为2?S1=1=S1

?11?S10??2??1????24?1?1?? 29?29

11??S2 22111第三次剪取后剩余三角形面积和为S2?S3????S3

244第二次剪取后剩余三角形面积和为S1?S2?1?…

第十次剪取后剩余三角形面积和为S9?S10?S10=129

6. (2018浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

A 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.EDBC

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE DB（填“>”,“<”或“=”）.

AEDBCDBAE第25题图1

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F. （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED?EC.若?ABC的边长为1，AE?2，求CD的长（请你直接写出结果）.

【答案】（1）= . （2）=.

方法一：如图，等边三角形ABC中，

第25题图2 C AEDBC

?ABC??ACB??BAC?60?，AB?BC?AC, EF//BC,

??AEF??AFE?60???BAC, ??AEF是等边三角形，

?AE?AF?EF,

?AB?AE?AC?AF,即BE?CF,

又

?ABC??EDB??BED?60?， ?ACB??ECB??FCE?60?

ED?EC,??EDB??ECB,.

??BED??FCE,??DBE??EFC,?DB?EF,?AE?BD.

方法二：在等边三角形ABC中，

?ABC??ACB?60?，?ABD?120?,?ABC??EDB??BED,?ACB??ECB??ACE,ED?EC,??EDB??ECB,??BED??ACE,FE//BC,??AEF??AFE?60???BAC,??AEF是正三角形，?EFC?180???ACB?120???ABD??EFC??DBE,?DB?EF,而由?AEF是正三角形可得EF?AE. ?AE?DB. (3)1或3.

7. （2018浙江台州，23,12分）如图1，过△ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定?A?

DE。特别的，当点D重合时，规定BE?A?0。另外。对?B、?c作类似的规定。

（1）如图2，已知在Rt△ABC中，∠A=30o，求?A、?c；

（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且?A?2，面积也为2； （3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×） ① 若△ABC中，?A?1，则△ABC为锐角三角形；（ ） ② 若△ABC中，?A?1，则△ABC为直角三角形；（ ） ③ 若△ABC中，?A?1，则△ABC为钝角三角形；（ ） 【答案】解:（1）如图，作CD⊥AB，垂足为D，作中线CE、AF。

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