注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
A例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
N分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF
移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，
EF全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | 2www.xsjjyw.com 314BD图3?1C 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC， 在△DBE和△NDE中： DN=DB（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边）
∴△DBE≌△NDE（SAS）
∴BE=NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF
在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。21cnjy.com 截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点 求证：AB-AC>PB-PC。
分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN
在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边）
∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有PB-PN A延长AC至M，使AM=AB，连接PM， 21在△ABP和△AMP中 PAB=AM（辅助线作法） CND∠1=∠2（已知） MAP=AP（公共边） B图6?1∴△ABP≌△AMP（SAS） ∴PB=PM（全等三角形对应边相等） 又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。 例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。 A D E C 例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com B 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 求证：∠ADC+∠B=180o 例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，?A=108°，BD平分?ABC。 求证：BC=AB+DC。 DCAEBA D 例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求 B C 1证：CD=2DB。 A M C D 1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。 B D C E 2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧， A B BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE 四 由中点想到的辅助线 口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 （一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。 例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的 面积为2，求：ΔCDF的面积。 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔCDE=SΔACD=1， SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故 因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。 ∴ΔCDF的面积为。 （二）、由中点应想到利用三角形的中位线 例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴MECD，∴∠MEF=∠CHE， ∵MF是ΔABD的中位线， ∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE， ∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。 （三）、由中线应想到延长中线 例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。 解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。 在ΔACD和ΔEBD中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD， ∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE， 从而BE=AC=3。 在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD= = = ，故BC=2BD=2 。 BC边上的中线。求 例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是证：ΔABC是等腰三角形。21*cnjy*com 证明：延长AD到E，使DE=AD。 仿例3可证： 全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔCDE=SΔACD=1， SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故 因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。 ∴ΔCDF的面积为。 （二）、由中点应想到利用三角形的中位线 例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
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