中考复习数学初中几何辅助线大全(20页)(3)

即EF：GC＝1：2，

因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD

所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝

小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。 解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB

因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4

即DF：BG＝3：4，

因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3

所以AF：BG＝2：3 即

所以AF：DF＝

例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。 解：过点D作DG//CE，交AB于点G 所以EF：DG＝AF：AD

因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 图4

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即EF：DG＝1：2

因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4 即DG：CE＝1：4，CE＝4DG

因为FC＝CE－EF＝

所以EF：FC＝＝1：7

练习：

1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1、1：10； 2. 9：1

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初中几何辅助线

二 由角平分线想到的辅助线 口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。【出处：21教育名师】

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等

E几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律A基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的

DCO定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△

FBOED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点EA在AD上，求证：BC=AB+CD。 DE分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍

C分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短BF的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但图1-2无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。

已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求AB-AC=CD

分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否长来证明呢？ 练习

已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

ACEDB证：

构造全等取法来证把短的延

图1-3AECB全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com D图1-4 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com

AB+BD=AC

已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE

已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC

已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180

A分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD

分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截法。

DEABCDF角形，从取的方

C图2-1 B已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：的平分线也经过点P。

分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，则PD=（ ）

A 4 B 3 C 2 D 1

2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

COBE图2-2A∠BAC离相等。

NDPMBFC图2-3P图2-4DAA1AE=2（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。

4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC

B上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。

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