2017年上海市中考数学试卷(5)

在△AOB和△AOC中， ，

∴△AOB≌△AOC， ∴∠C=∠B， ∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=∠B， ∵∠ADO=∠ADB，

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∴△OAD∽△ABD．

（2）如图2中，①当∠ODC=90°时，

∵BD⊥AC，OA=OC， ∴AD=DC， ∴BA=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°， ∴OD=OA=， ∴AD=

∴BC=AC=2AD=

=

， ．

=， ②∠COD=90°，∠BOC=90°，BC=③∠OCD显然≠90°，不需要讨论． 综上所述，BC=

或． （3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．

∵△DAO∽△DBA， ∴

=

=

，

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∴==， ，AB=

，

∴AD=

∵S2是S1和S3的比例中项， ∴S22=S1?S3，

∵S2=AD?OH，S1=S△OAC=?AC?OH，S3=?CD?OH， ∴（AD?OH）2=?AC?OH??CD?OH， ∴AD2=AC?CD，

∵AC=AB．CD=AC﹣AD=∴（

）2=

?（

﹣﹣

， ），

整理得x2+x﹣1=0， 解得x=经检验：x=∴OD=

．

=

=，黄金分割点的性质解决这个问题）

或

，

是分式方程的根，且符合题意，

（也可以利用角平分线的性质定理：【点评】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

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