2017年上海市中考数学试卷(4)

=

=

计算即可；

=，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；

【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6， ∴AB=∴sinB=

==

=

=3．

，

（2）∵EF∥AD，BE=2AE， ∴∴

==

=

=，

=，

∴EF=4，BF=6， ∴DF=3，

在Rt△DEF中，DE===5．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22．（10分）（2017?上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．

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（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；

（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 【解答】解：（1）设y=kx+b，则有解得

，

，

∴y=5x+400．

（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，

∵6300＜6400

∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．

23．（12分）（2017?上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

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【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形； （2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．

【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，

，

∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD，

∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180×

=45°，

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∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形．

【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．

24．（12分）（2017?上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B． （1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．

【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；

（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；

（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1， ∴x=﹣

=1，即

=1，解得b=2．

∴y=﹣x2+2x+c．

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将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2． 配方得：y=﹣（x﹣1）2+3． ∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．

（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2）， ∴MC=m﹣2． ∴cot∠AMB=

=m﹣2．

（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上， ∴抛物线向下平移了3个单位． ∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3． ∵OP=OQ，

∴点O在PQ的垂直平分线上． 又∵QP∥y轴， ∴点Q与点P关于x轴对称． ∴点Q的纵坐标为﹣． 将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=∴点Q的坐标为（

，﹣）或（

，﹣）．

或x=

．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．

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25．（14分）（2017?上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；

（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=AC?CD，列出方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图1中，

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