2005年广东省中考数学试卷(4)

考点： 频数（率）分布直方图；频数与频率；频数（率）分布表． 专题： 阅读型；图表型． 分析： （1）根据直方图的画法可将频数分布直方图补充完整， （2）读图可知在79.5～89这个数段的学生最多；在49.5﹣59这个数段的学生最少． （3）根据频率、频数的关系频率=解答： 解： （1） 成 绩 段 频数纪录 可计算出数学考试的及格率与优秀率． 69.5～79.5 正 正正 2 9 10 频 数 0.050 0.225 0.250 频 率 （2）79.5﹣89数段的学生最多，49.5﹣59数段的学生最少． （3）及格率为：优秀率为：×100%=95%； 49.5～59.5 丅 59.5～69.5 79.5～89.5 正正 14 0.350 89.5～99.5 正 5 0.125 ×100%=12.5%． 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（9分）（2005?中山）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点．

（1）求证：四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

考点： 等腰梯形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的判定． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可； （2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AB=CD，∠A=∠D． ∵M为AD的中点， ∴AM=DM．（2分） ∴△ABM≌△DCM．（1分） ∴BM=CM．（1分） ∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点， ∴EN、FN分别为△BMC的中位线， ∴EN=MC，FN=MB， 且ME=BE=MB，MF=FC=MC． ∴EN=FN=FM=EM． ∴四边形ENFM是菱形．（1分） （2）解：结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半． 理由：连接MN， ∵BM=CM，BN=CN， ∴MN⊥BC． ∴MN是梯形ABCD的高．（2分） 又∵四边形MENF是正方形， ∴∠EMF=90°， ∴△BMC为直角三角形． 又∵N是BC的中点， ∴MN=BC．（1分） 即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半． 点评： 本题比较复杂，涉及面较广，需要同学们把所学知识系统化，提高自己对所学知识的综合运用运用能力． 21．（9分）（2005?中山）某夏令营的活动时间为15天，营员的宿舍安装了空调．如果某间宿舍每天比原计划多开2个小时的空调，那么开空调的总时间超过150小时；如果每天比原计划少开2个小时的空调，那么开空调的总时间不足120小时，问原计划每天开空调的时间为多少小时？ 考点： 一元一次不等式组的应用． 专题： 应用题；压轴题． 分析： 设原计划每天开空调的时间为x小时，依题意可得，解不等式组即可． 解答： 解：设原计划每天开空调的时间为x小时，依题意可得 解得8＜x＜10 答：每天开空调的时间为8＜x＜10小时． 点评： 此题的不等关系比较明显，列不等式组即可．读懂题意，找到相等或不等关系准确的列出式子是解题的关键．

22．（9分）（2005?中山）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；

（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可． 22（2）设C（x，0），则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解； （3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底时，共有4个点符合条件． 解答： 解：（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）． 2设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）+4， 过点M（4，0），则4a+4=0， 222∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）+4=4x﹣x，即y=﹣x+4x； （2）设C（x，0）， 22则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）． ∵l=2（BC+CD） 2=2[（4﹣2x）+（4x﹣x）] 2=2（﹣x+2x+4） 2=﹣2（x﹣1）+10， ∵当x=1时，l有最大值，即l最大值=10； （3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点， 以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外）， 这四个点都符合题意． 点评： 能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式；能够利用建立函数关系式的方法求得周长或面积的最值；若要构成等腰三角形，则已知的边可以当底，也可以当腰．

22．（9分）（2005?中山）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；

（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可． 22（2）设C（x，0），则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解； （3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底时，共有4个点符合条件． 解答： 解：（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）． 2设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）+4， 过点M（4，0），则4a+4=0， 222∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）+4=4x﹣x，即y=﹣x+4x； （2）设C（x，0）， 22则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）． ∵l=2（BC+CD） 2=2[（4﹣2x）+（4x﹣x）] 2=2（﹣x+2x+4） 2=﹣2（x﹣1）+10， ∵当x=1时，l有最大值，即l最大值=10； （3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点， 以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外）， 这四个点都符合题意． 点评： 能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式；能够利用建立函数关系式的方法求得周长或面积的最值；若要构成等腰三角形，则已知的边可以当底，也可以当腰．

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