直角三角形与勾股定理(初中数学中考题汇总20)(3)

活添加辅助线，构造所需图形是证明关键所在. （2011?宁波）25．（本题10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

小明：那直角三角形

老师：我们新定义一种三角形，

中是否存在奇异三

两边平方和等于第三边平方的

角形呢？

2倍的三角形叫做奇异三角形．

小华：等边三角形一定是奇异三角形！ （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角

形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b?a，若Rt△ABC是

奇异三角形，求a:b:c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中

点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE． ① 求证：△ACE是奇异三角形；

② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

222C A

O E B

D (2) 在Rt△ABC中，a?b?c ∵ c?b?a?0

∴2c?a?b，2a?b?c

∴若Rt△ABC为奇异三角形,一定有2b?a?c 3分 ∴2b?a?(a?b) ∴b?2a 得b?2222222222222225．解：(1) 真命题 ( 第 25 题 ) 2分

22222a

2∵c?b?a?3a ∴c?3a

∴a:b:c?1:2:3 5分 (3) ①∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=∠ADB=90°

在Rt△ACB中，AC2?BC2?AB2 在Rt△ADB中，AD2?BD2?AB2 ∵点D是半圆ADB的中点 ∴AD= BD

∴AD=BD 6分

∴ AB2?AD2?BD2?2AD2

∴AC2?CB2?2AD2 7分 又∵CB?CE,AE?AD ∴AC2?CE2?2AE2

∴△ACE是奇异三角形 8分 ②由①可得△ACE是奇异三角形 ∴AC2?CE2?2AE2 当△ACE是直角三角形时

由（2）可得AC:AE:CE?1:2:3或AC:AE:CE?3:2:1 （Ⅰ）当AC:AE:CE?1:2:3时，

AC:CE?1:3 即AC:CB?1:3 ∵?ACB?90? ∴?ABC?30?

∴?AOC?2?ABC?60? 9分

（Ⅱ）当AC:AE:CE?3:2:1时，

AC:CE?3:1 即AC:CB?3:1 ∵?ACB?90? ∴?ABC?60?

∴?AOC?2?ABC?120?

∴?AOC的度数为60?或120?． 10分

（2011?枣庄市）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；

A

（2）线段AC的长为 ，CD的长

B 为 ，AD的长为 ；

（3）△ACD为 三角形，四边形ABCD

为 ；

（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值21.(本题满分8分)

（1）如图； ???????????1（2）2的面积

E C

第21题图

是 ．

分

5，5，5； ………………4分

A

B

E C

第21题图

（3）直角，10； ????????6分 （4）

1． ???????????8分 2D

（2011?北京市）19. 如图，在△ABC，?ACB?90?中，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC?2，CE?4，求四边形ACEB的周长。

[解] ∵ ?ACB=90?，DE?BC， ∴ AC//DE，又∵ CE//AD，

∴ 四边形ACED是平行四边形， ∴ DE=AC=2，

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=CE2?DE2=23, ∵ D是BC的中点， ∴ BC=2CD=43.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=AC2?BC2=213, ∵ D是BC的中点，DE?BC， ∴ EB=EC=4,

∴ 四边形ACEB的周长=AC?CE?EB?BA=10?213。

（2011?呼和浩特市）18、（6分）如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园

人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离.

CA18、解：过点C作CD⊥AB，垂足为D ?????????????（1分）

∵ AC=30m ∠CAB=120°

∴ AD=15m CD=153m ??????????????（4分） 在Rt△BDC中， BD=∴

702?(153)2B

=65m ???????（5分）

AB?BD?AD?65?15?50m ??????????????????????????

???（6分）

22、（8分）（2011·济宁）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

(1)、若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的 地方可使所用输水管道最短？

(2)、水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的 距离相等？ 22、解：（1）作点B关于x轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，-7） 设直线AE的函数关系式为y=kx+b,则 2k+b=3

/km 12k+b=-7

B 8 F 6 解得 k=-1 A 4 G b=5 2 D C /km 当y=0时， x=5 2 4 6 8 10 12 所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。 E （2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴欲点G 第22题 设点G的坐标为（x，0）

在Rt△AGD中，AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2 在Rt△BCG中，BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2

∵AG=BG ∴32+(x-2)2=72+(12-x)2 解得 x=9

所以 ，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。

1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直

角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三．．．．．．．．

角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． ．．

【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+82=16+82 2. （2011四川绵阳23，12）

王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a表示第三条边长；

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