2020-2021学年江苏省盐城市上冈高级中学、龙冈中学等高一(上)期(4)

（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

（Ⅱ）求出该商品的日销售额的最大值．

解：（Ⅰ）根据题意，得S＝f（t）?g（t）＝

，

化简得．

（Ⅱ）当1≤t≤40且t∈N时，；

当41≤t≤100且t∈N时，S随t的增大而减小，

高一(上)期末数学试卷

∴S max＝S（41）＝714．

又∵＞714，∴．

答：该商品的日销售额的最大值为808.5元．

21．已知函数为奇函数．

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）判定函数f（x）在定义域内的单调性，并用定义证明；

（Ⅲ）设t＝|2x﹣1|+1，（x＜1），n＝f（t），求实数n的取值范围．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）的定义域关于原点对称．

又∵函数f（x）的定义域为{x|（x+2）（x﹣m）＜0}．

∴m＞0且函数f（x）的定义域为（﹣2，m），∴m＝2．

此时f（﹣x）＝log3＝﹣log3＝﹣f（x），

∴m＝2符合题意．

（Ⅱ）函数f（x）是定义域上的单调递减函数，

证明：设x1＜x2，且x1，x2为（﹣2，2）上的任意两个数，

∴f（x1）﹣f（x2）＝log3﹣log3＝log3?，

又∵?﹣1＝＝，

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．

又∵﹣2＜x1＜x2＜2，∴2﹣x2＞0，2+x1＞0．

∴?＞1，∴log3?＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）为（﹣2，2）上的单调递减函数．

（Ⅲ）∵t＝|2x﹣1|+1＝，

∴t＝|2x﹣1|+1在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，1）上单调递增

∴t＝|2x﹣1|+1在（﹣∞，1）上的取值范围为[1，2），

又∵函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减．

高一(上)期末数学试卷

∴n＝f（t）在[1，2）上的取值范围为（﹣∞，﹣1]，

即实数n的取值范围为（﹣∞，﹣1]．

22．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4，．

（Ⅰ）求函数h（x）＝lg（tan x﹣1）+g（1﹣2cos x）的定义域；

（Ⅱ）若函数，，求函数n（x）＝f[m（x）]的最小值；（结果用含a的式子表示）

（Ⅲ）当a＝0时，是否存在实数b，对于任意x∈R，不等式F（bx2﹣2x+1）+F（3﹣2bx）＞2（b+1）x﹣bx2﹣4恒成立，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）根据题意，得，即，∴，k∈Z或，k∈Z，

∴函数h（x）的定义域为∪，k∈Z．（Ⅱ）∵，∴，∴，

∴，∴，即1≤m（x）≤2．

令t＝m（x），则t∈[1，2]，n（x）＝f（t）＝t2﹣2at+4，t∈[1，2]，

∵函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，

（1）当a≤1时，f（t）在[1，2]上单调递增，∴f（t）min＝f（1）＝5﹣2a；

（2）当a≥2时，f（t）在[1，2]上单调递减，∴f（t）min＝f（2）＝8﹣4a；

（3）当1＜a＜2时，．

∴函数n（x）＝f[m（x）]的最小值；

（Ⅲ）∵，

∴F（x）在R上单调递增且为奇函数．

高一(上)期末数学试卷

又∵对于任意x∈R，不等式F（bx2﹣2x+1）+F（3﹣2bx）＞2（b+1）x﹣bx2﹣4恒成立．∴对于任意x∈R，不等式F（bx2﹣2x+1）+bx2﹣2x+1＞﹣F（3﹣2bx）+2bx﹣3＝F（2bx ﹣3）+2bx﹣3恒成立．

令G（x）＝F（x）+x，则G（x）在R上单调递增，

又∵G（bx2﹣2x+1）＞G（2bx﹣3），

∴对于任意x∈R，不等式bx2﹣2x+1＞2bx﹣3在R上恒成立，即bx2﹣2（b+1）x+4＞0在R上恒成立．

当b＜0时，不合题意；

当b＝0时，不合题意；

当b＞0时，则，即，不合题意．

综上所述，不存在符合条件的实数b，使得对于任意x∈R，不等式F（bx2﹣2x+1）+F（3﹣2bx）＞2（b+1）x﹣bx2﹣4恒成立．

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