2020-2021学年江苏省盐城市上冈高级中学、龙冈中学等高一(上)期(3)

y＝2sin x先向右平移个单位，可得函数y＝2sin（x﹣）的图像，

再将图象上的所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝2sin（2x﹣）的图像，故D 正确．

故选：CD．

12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，

高一(上)期末数学试卷

其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（x2）＝|x|B．f（x2）＝x C．f（cos x）＝x D．f（e x）＝x

解：A．设t＝x2，则x＝±，则方程等价为f（t）＝|±|＝，满足函数的定义，

B．设t＝x2，则x＝±，则方程等价为f（t）＝±，有两个y值对应，不满足唯一性，不满足函数的定义，

C．设t＝cos x，则t＝1时，x＝kπ，有很多值与t＝1对应，不满足唯一性，不满足函数的定义．

D．设t＝e x，则x＝lnt，则方程等价为f（t）＝lnt，满足函数的定义．

故选：AD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分，请把答案写在答题纸的指定位置上．13．log23×log34×log45×log56×log67×log78＝3．

解：log23×log34×log45×log56×log67×log78

＝

＝

＝

＝3．

故答案为：3．

14．已知f（x）＝a sin x+b tan x+5，（a2+b2≠0，a∈R，b∈R），若f（1）＝3，则f（﹣1）＝7．

解：根据题意，f（x）＝a sin x+b tan x+5，则f（﹣x）＝a sin（﹣x）+b tan（﹣x）+5＝﹣a sin x ﹣b tan x+5，

则有f（x）+f（﹣x）＝10，

即f（1）+f（﹣1）＝10，

若f（1）＝3，则f（﹣1）＝7，

故答案为：7．

高一(上)期末数学试卷

15．设正数x，y满足x+4y＝3，则的最小值为；此时x+y的值为1．解：∵x＞0，y＞0，x+4y＝3，

∴（x+3+4y+4）＝1，

∴＝（）（x+3+4y+4）≥（5+2）＝，当且仅当，即x+y＝1时，取得最小值．

故答案为：；1．

16．已知函数方程f（x）＝m有六个不同的实数根x1，

x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围为（14，）．

解：作出函数f（x）的图像如下：

由图可知x1，x2关于x＝﹣2对称，x5，x6关于x＝8对称，

所以（x1+x2）+（x5+x6）＝2×（﹣2）+2×8＝12，

由图可知|log2x3|＝|log2x4|，即﹣log2x3＝log2x4，

所以log2x3+log2x4＝0，即log2x3x4＝0，解得x3x4＝1，

由图可知0＜m＜2，且1＜x4＜4，

所以x3+x4＝x4+，

高一(上)期末数学试卷

令g（x）＝x+，1＜x＜4，

g′（x）＝1﹣＝，

当1＜x＜4时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以2＜g（x）＜，

所以x3+x4＝x4+∈（2，），

所以x1+x2+x3+x4+x5+x6∈（14，），

故答案为：（14，）．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知命题p：函数f（x）＝lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：?x∈R，x2+4＞a．（Ⅰ）命题p是真命题，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）∵命题p是真命题，∴x2﹣2x+a＞0恒成立，

∴（x2﹣2x+a）min＝a﹣1＞0，∴a＞1，

∴实数a的取值范围为（1，+∞），

说明：利用△＜0求得a的取值范围同样给分；

（Ⅱ）∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，

∴p真q假或p假q真，

由（1）可知，当p是真命题时，实数a的取值范围为（1，+∞），

又∵当q是真命题时，实数a的取值范围为（﹣∞，4），

当p真q假时，∴实数a的取值范围为[4，+∞），

当p假q真时，∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]，

综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．

18．在①4sin（2021π﹣α）＝3cos（2021π+α），②，③α，β的终边关于x轴对称，并且4sinβ＝3cosβ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

高一(上)期末数学试卷

已知第四象限角α满足_______，求下列各式的值．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）sin2α+3sinαcosα．

解：若选择条件①，∵4sin（2021π﹣α）＝3cos（2021π+α），

∴4sinα＝﹣3cosα，

∴．

若选择条件②，∵α是第四象限角，

∴sinα＜0，cosα＞0，

又∵，

∴（﹣cosα）2+cos2α＝1，

∴，，

∴．

若选择条件③，∵α是第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，

又∵α，β的终边关于x轴对称，

∴sinα＝﹣sinβ，cosα＝cosβ．

又∵4sinβ＝3cosβ，

∴﹣4sinα＝3cosα，即．

（Ⅰ）∵．

（Ⅱ）∵

．19．已知函数f（x）＝sin2x．

（Ⅰ）若，求函数g（x）的单调递增区间：

（Ⅱ）当时，函数y＝2af（x）+b（a＞0）的最大值为1，最小值为﹣5，

高一(上)期末数学试卷

求实数a，b的值．

解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin2x，则，令，k∈Z，可得，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；

（Ⅱ）因为y＝2a sin2x+b（a＞0），又，所以，故﹣1≤sin2x≤1，

因为函数y＝2af（x）+b（a＞0）的最大值为1，最小值为﹣5，

所以y max＝2a+b＝1，y min＝﹣2a+b＝﹣5，即，解得．

20．沪苏合作的长三角（东台）康养小镇项目正式落户江苏盐城东台﹣﹣12月16日，该项目在南京举办签约仪式，该项目由盐城市政府、东台市政府和上海地产集团合作共建，选址在东台沿海经济区，总占地17.1平方公里，其中一期9.7平方公里，规划人口15万人，总投资700亿元，定位于长三角区域康养服务一体化示范区、跨行政区康养政策协同试验区．此消息一出，众多商家目光投向东台．某商家经过市场调查，某商品在过去100天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足g（t）＝﹣（1≤t≤100，t∈N）．前40天价格为f（t）＝t+22（1≤t≤40，t∈N），后60天价格为f（t）＝﹣+52（41≤t≤100，t∈N）．

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