（1）类比“三角函数图像”得：
①若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为
x?1?a(a?R)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,?1)成中心
a?x?ts?,?对2?2?T?2|a?b|；
②若y?f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，则y?f(x)是周期函数，且一周期为
T?2|a?b|；
③如果函数y?f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则函数y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?4|a?b|；
如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；
②若f(x?a)?1(a?0)恒成立，则T?2a； f(x)1(a?0)恒成立，则T?2a. f(x)③若f(x?a)??如(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________(答：f(sin?)?f(cos?))；
（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函数，求f(2005)的值(答：993)； （4）设f?x?是定义域为R的函数，且f?x?2???1?f?x????1?f?x?，又f?2??2?2，则
f?2006?= (答：2?2) 214．指数式、对数式：
a?a，amnnm?mn0，，a?1，loga1?0，logaa?1，lg2?lg5?1，logex?lnx，?1manlogcb，alogaN?N， logabn?ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，logab?logcam1logn如()logab。
2m28的值为________(答：
1) 64
15．指数、对数值的大小比较： （1）化同底后利用函数的单调性； （2）作差或作商法；
（3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
16．函数的应用。
（1）求解数学应用题的一般步骤：
①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系； ②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域； ③解模――求解所得的数学问题；
④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。 （2）常见的函数模型有：
①建立一次函数或二次函数模型； ②建立分段函数模型； ③建立指数函数模型；
④建立y?ax?b型。 x
17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：f(x)?kx(k?0) ---------------f(x?y)?f(x)?f(y)； ②幂函数型：f(x)?x2 --------------f(xy)?f(x)f(y)，f()?xyf(x)； f(y)f(x)； f(y)③指数函数型：f(x)?ax ------------f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?④对数函数型：f(x)?logax -----f(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)；
xy⑤三角函数型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?f(x)?f(y)。如已知f(x)是定义在R上的奇函数，
1?f(x)f(y)且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f(?T)?____（答：0） 2（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数f(x)(x?N)表示x除以3的余数，则对任意的x,y?N，都有 A、f(x?3)?f(x)
B、f(x?y)?f(x)?f(y) C、f(3x)?3f(x) D、f(xy)?f(x)f(y)（答：A）；
（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果f(1)?lg3，2f(2)?lg15，求f(2001)（答：1）；
（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)??f(x)，证明：直线x?1是函数f(x)图
象的一条对称轴；
（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?4)，且当x?2时，f(x)单调递增。
如果x1?x2?4，且(x1?2)(x2?2)?0，则f(x1)?f(x2)的值的符号是____（答：负数）
（3）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如
（1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）； （2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，则f(x)的 奇偶性是______（答：偶函数）；
y
（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么不
等式f(x)cosx?0的解集是_____________（答：(???,?1)(0,1)(,3)）； 22?（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R?，都有f()?f(x)?f(y)，且x?1时，
xy1f(x)?0，又f()?1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1?2
． ?4,5?）
能力训练
一、选择题
1．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是
[ ]
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增； ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增； ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减； ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减； 其中，正确的命题是
[ ]
A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
3．设全集为R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B={x|x－5|＜a}(a为常数)，且11∈B，则
[ ]
A．A∪B=R C．A∪B=R B．A∪B=R D．A∪B=R
4．已知全集为I，集合M、N?I．若M∩N＝N，则
[ ]
A．M?NC．M?N B．M?ND．M?N
5．若定义在区间(－1，0)内的函数 f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是
[ ]
1A．(0，)21C．(，＋∞) 21 B．(0，)2D．(0，＋∞)
6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)＝________
[ ]
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
7．将 y=2x的图象__________，再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x＋1)的图象．
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